|
== Perhitungan ==
[[Berkas:Logarithm_keys.jpg|jmpl|Tombol logaritma (LOG sebagai bilangan pokok 10 dan LN sebagai bilangan pokok {{mvar|e}}) pada sebuah kalkulator grafik [[TI-83 series|TI-83 Plus]].]]
Logaritma merupakan alat perhitungan yang mudah pada beberapa kasus, misalnya {{math|1=<sup>10</sup>log 1000 = 3}}. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui [[deret kuasa]] atau [[purata aritmetik–geometrik]], atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan.<ref>{{Citation|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, section 6.3, pp. 105–11</ref> [[Metode Newton]], sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, section 1 for an overview</ref> Dengan melihat tabel logaritma, metode seperti [[CORDIC]] dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan [[geseran aritmetika|geseran bit]].<ref>{{Citation|url=https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation|last=Kahan|first=W.|author-link=William Kahan|title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|date=20 May 2001}}</ref> Terlebih lagi, [[Logaritma biner#Algoritma|algoritma dari logaritma biner]] menghitung {{math|lb(''x'')}} [[Rekursi|secara berulang]], <u>basedberdasarkan on repeated squarings ofpenguadratan {{mvar|x}} berulang, taking advantagedengan ofmemanfaatkan therelasi relation</u>berikut
: <math>^2\!\log\left(x^2\right) = 2 \cdot \, ^2\!\log |x|.</math>
: <math>\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.</math>
Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika {{mvar|z}} mendekati 1. Sebagai contoh, untuk {{math|1=''z'' = 1,5}}, tiga suku pertama dari deret kedua memberikan nilai hampiran {{math|ln(1,5)}} dengan galatnya sekitar {{val|3|e=-6}}. TheKekonvergenan quickcepat convergence foruntuk {{mvar|z}} closeyang tomendekati 1 candapat bedimanfaatkan takensebagai advantageberikut: ofdiberikan insebuah thehampiran followingdengan way:tingkat givenakurat ayang low-accuracy approximationrendah {{math|''y'' ≈ ln(''z'')}} anddan memasukkan ke puttingrumus
: <math>A = \frac z{\exp(y)},</math>
themaka logarithmlogaritma ofdari {{mvar|z}} isdirumuskan:
: <math>\ln (z)=y+\ln (A).</math>
TheHampiran better the initial approximationawalan {{mvar|y}} is,yang lebih baik adalah dengan themembuat closernilai {{mvar|A}} ismendekati toke 1, sosehingga itsnilai logarithmlogaritma candapat bedihitung calculatedlebih efficientlyefisien. Nilai {{mvar|A}} candapat bedihitung calculated using themelalui [[ExponentialFungsi functioneksponensial|exponentialderet serieseksponensial]], whichsehingga convergesnilainya quicklykonvergen provideddengan cepat, asalkan niali {{mvar|y}} is nottidak tooterlalu largebesar. CalculatingDengan themenghitung logarithmlogaritma of largerdari {{mvar|z}} canyang belebih reducedbesar todapat smallerdireduksi valuesemnjadi ofnilai {{mvar|z}} byyang writinglebih kecil dengan menulis {{math|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, so thatsehingga {{math|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + {{mvar|b}} · ln(10)}}.
AAdapun closelymetode relatedyang methodsangat canberkaitan bedengannya useddapat todipakai computeuntuk themenghitung logarithmlogaritma ofdari integersbilangan bulat. PuttingDengan memasukkan <math>\textstyle z=\frac{n+1}{n}</math> inpada thederet abovedi seriesatas, itmaka deret tersebut dapat ditulis followssebagai thatberikut:
: <math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
IfJika thediketahui logarithmlogaritma ofdari asuatu largebilangan bulat integer {{mvar|n}} isyang knownlebih besar, thenmaka thisderet seriestersebut yieldsmenghasilkan asebauah fastderet convergingyang serieskonvergen fordengan cepat untuk {{math|log(''n''+1)}}, with adengan [[rate oflaju convergencekonvergensi]] ofdari <math display="inline">\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2}</math>.
=== Hampiran purata aritmetik-geometrik ===
The [[arithmetic–geometricPurata meanaritmetik–geometrik]] yieldsatau high[[rata-rata precisionaritmetik–geometrik]] approximationsmenghasilkan ofhampiran thedari [[naturallogaritma logarithmnatural]] dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki anddan Kanada showedmemperlihatkan inbahwa 1982purata thatini itsangat wascepat particularlyuntuk fastketepatan fordi precisions betweenantara 400 anddan 1000 decimalletak placesdesimal, whilesementara Taylormetode seriesderet methodsTaylor werebiasanya typicallylebih fastercepat <u>when less precision was needed</u>. InDalam their workkaryanya, {{math|ln(''x'')}} iskira-kira approximatedsama todengan aketepatan precision ofdari {{math|2<sup>−''p''</sup>}} (oratau {{Mvar|p}} precisebit bitsyang tepat) bymelalui therumus following formulaberikut (due tokarena [[Carl Friedrich Gauss]]):<ref>{{Citation|first1=T.|last1=Sasaki|first2=Y.|last2=Kanada|title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)|journal=Journal of Information Processing|volume=5|issue=4|pages=247–50|year=1982|url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332|access-date=30 March 2011}}</ref><ref>{{Citation|first1=Timm|title=Stacs 99|last1=Ahrendt|publisher=Springer|location=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–12|isbn=978-3-540-65691-3|chapter=Fast Computations of the Exponential Function}}</ref>
: <math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2\, \mathrm{M}\!\left(1, 2^{2 - m}/x \right)} - m \ln(2).</math>
HereNotasi {{math|M(''x'', ''y'')}} denotesmenyatakan the[[purata aritmetika–geometrik]] atau [[arithmetic–geometricrata-rata meanaritmetik–geometrik]] ofdari {{mvar|x}} anddan {{mvar|y}}. ItPurata isini obtaineddidapatkan bydengan repeatedlymenghitung calculating the averagererata {{Math|(''x'' + ''y'')/2}} ([[arithmeticpurata meanaritmetika]]) anddan <math display="inline">\sqrt{xy}</math> ([[geometricpurata meangeometrik]]) ofdari {{mvar|x}} anddan {{mvar|y}} thensecara letberulang, thoselalu twomisalkan numberskedua becomebilangan thetersebut nextmerupaka bilangan {{mvar|x}} anddan {{mvar|y}} selanjutnya. TheKedua twobilangan numberstersebut quicklykonvergen convergedengan tocepat amenuju commonke limit whichyang is the valuesama, ofyaitu {{math|M(''x'', ''y'')}}. Agar memastikan nilai ketepatan yang dibutuhkan, maka pilih {{mvar|m}} is chosen such thatsehingga
: <math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>
to ensure the required precision. A largerBilangan {{mvar|m}} makesyang thelebih besar membuat perhitungan {{math|M(''x'', ''y'')}} calculation <u>take more steps (the initial {{mvar|x}} and {{mvar|y}} are farther apart so it takes more steps to converge)</u>, butnamun givesmemberikan morenilai precisionyang lebih tepat. TheKonstanta constantsseperti {{math|{{pi}}}} anddan {{math|ln(2)}} candapat dihitung bemelalui calculatedderet withyang quicklykonvergen convergingdengan seriescepat.
=== Algoritma Feynman ===
While at [[LosRichard Alamos National LaboratoryFeynman]], working onyang themengerjakan [[Manhattanproyek ProjectManhattan]], di [[RichardLos FeynmanAlamos National Laboratory]], developedmengembangkan asebuah algoritma pengolahan bit-processing algorithm,untuk tomenghitung computenilai thelogaritma. logarithm,Algoritma thattersebut ismenyerupai similarpembagian topanjang, longdan divisionkemudian anddipakai wasdalam latersebuah usedanggota indari therangkaian subkomputer, [[Connection Machine]]. TheBahkan algorithmbahwa usessetiap the fact that everybilangan real number {{Math|1 < ''x'' < 2}} isyang representabledapat asdirepresentasikan asebagai producthasil ofkali distinctdari factorsfaktor ofyang theberbeda formdari bentuk {{Math|1 + 2<sup>−''k''</sup>}}, dipakai dalam algoritma ini. The algorithm sequentially builds that product {{Mvar|P}}, starting with {{math|''P'' {{=}} 1}} and {{math|''k'' {{=}} 1}}: if {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>) < ''x''}}, then it changes {{Mvar|P}} to {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>)}}. It then increases <math>k</math> by one regardless. The algorithm stops when {{Mvar|k}} is large enough to give the desired accuracy. Because {{Math|log(''x'')}} is the sum of the terms of the form {{Math|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} corresponding to those {{Mvar|k}} for which the factor {{Math|1 + 2<sup>−''k''</sup>}} was included in the product {{Mvar|P}}, {{Math|log(''x'')}} may be computed by simple addition, using a table of {{Math|log(1 + 2<sup>−''k''</sup>)}} for all {{Mvar|k}}. Any base may be used for the logarithm table.<ref>{{citation|first=Danny|last=Hillis|author-link=Danny Hillis|title=Richard Feynman and The Connection Machine|journal=Physics Today|volume=42|issue=2|page=78|date=15 January 1989|doi=10.1063/1.881196|bibcode=1989PhT....42b..78H}}</ref>
== Penerapan ==
| 