|
: <math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel {{Math|''w''}} menjadi {{Math|{{sfrac|1=''x''|2=''t''}}}}. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor {{Mvar|t}} dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. MovingDengan itmemindahkan appropriately,daerah thebiru areake fitsdaerah thekuning, graphluasnya ofmenyesuaikan thegrafik functionfungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac{{1/=1|2=''x''}}}} again. ThereforeOleh karena itu, theluas leftbiru handdi bluesebelah areakiri, which isyang themerupakan integral ofdari fungsi {{math|''f''(''x'')}} fromdengan interval dari {{Mvar|t}} tohingga {{Mvar|tu}} issama the same as thedengan integral fromdengan interval 1 tohingga {{Mvar|u}}. ThisHal justifiesini themembenarkan persamaan equality (2) with amelalui morebukti geometricgeometri prooflainnya.
[[Berkas:Natural_logarithm_product_formula_proven_geometrically.svg|al=TheFungsi hyperbolahiperbola depicteddigambarkan twicedua kali. TheLuas areadi underneathbawah isfungsi splitdibagi intomenjadi differentbagian partsyang berbeda.|pus|jmpl|500x500px|ASebuah bukti visual prooftentang ofrumus thehasilkali productdari formula of thelogaritma natural logarithm]]
TheRumus power formulapangkat {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}} may bedapat derivedditurunkan indalam acara similaryang wayserupa:
: <math>
</math>
ThePersamaan secondkedua equalitymenggunakan usesperubahan avariabel change of variablesdengan ([[integrationpengintegralan bymelalui substitutionsubstitusi]]), {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>1/''r''</sup>}}.
Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan
The sum over the reciprocals of natural numbers,
: <math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
disebut [[deret harmonik (matematika)|deret harmonik]]. Deret ini sangat terkait erat dengan [[logaritma alami]], yang dinyatakan melalui pernyatan berikut: ketika {{Mvar|n}} cenderung menuju [[tak hingga|takhingga]], selisih dari
is called the [[Harmonic series (mathematics)|harmonic series]]. It is closely tied to the [[natural logarithm]]: as {{Mvar|n}} tends to [[infinity]], the difference,
: <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[Limit of a sequencebarisan|convergeskonvergen]] (i.e.yakni getsmendekati arbitrarilydengan closesembarang) toke asebuah numberbilangan knownyang asdikeanl thesebagai [[Euler–Mascheronikonstanta constantEuler–Mascheroni]] {{math|1=''γ'' = 0.5772...}}. ThisKaitan relationantara aidsderet inharmonik analyzingdan thelogaritma performancenatural ofmembantu algorithmsdalam suchmenganalisis askinerja algoritma seperti ''[[quicksort]]''.<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>
=== Transendensi logaritma ===
| 