Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.176 suntingan
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.176 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Baris 2:
{{Operasi aritmetika}}
 
Dalam [[matematika]], '''logaritma''' merupakan [[fungsi invers]] dari [[eksponensiasi]]. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai {{mvar|x}} merupakan [[eksponen]] dengan [[Bilangan pokok (eksponen)|bilangan pokok]] {{mvar|b}} yang dipangkatkan dengan bilangan sesuatu agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}} dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai {{math|<sup>10</sup>log&thinsp;(1000) {{=}} 3}}. Logaritma dari {{mvar|x}} dengan ''bilangan pokok'' {{mvar|b}} dilambangkan {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''x''}}. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;(''x'')}} atau tanpa menggunakan tanda kurung. {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}, atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok, {{math|log&thinsp;''x''}}.
 
Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma bilangan pokok {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) disebut sebagai [[logaritma umum]], yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Adapun [[logaritma alami]] dengan bilangan pokok [[E (konstanta matematika)|bilangan {{Math|''e''}}]] ({{math|''b'' ≈ 2.718}}), yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika karena dapat mempermudah perhitungan [[integral]] dan [[turunan]]. Adapula [[logaritma biner]] menggunakan bilangan pokok {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}), yang seringkali dipakai dalam [[ilmu komputer]].
Baris 38:
== Identitas logaritma ==
{{Main|Daftar identitas logaritma}}
Ada beberapa rumus penting, terkadang disebut ''identitas logaritma'', yang mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.<ref>Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan pada {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=bagian 4|nb=yes}}. Sebagai contoh, {{Harvard citations|last1=Downing|first1=Douglas|year=2003|loc=hlm. 275}}, atau {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=hlm. 1-1|nb=yes}}.</ref>
 
=== Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar ===
Logaritma suatu hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bliangan yang dikalikan dan logaritma hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke-{{Mvar|p}} sama dengan ''{{Mvar|p}}'' dikali logaritma itu sendiri dan logaritma bilangan akar ke-{{Mvar|p}} sama dengan logaritma dibagi dengan {{Mvar|p}}. Berikut adalah tabel yang memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta conohtnyacontohnya. Masing-masing identitas ini berasal dari hasil substitusi dari definisi logaritma <math>x = b^{\, ^b\!\log x}</math> atau <math>y = b^{\, ^b\!\log y}</math> pada ruas kiri.
{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
!
Baris 83:
{{Collapse bottom}}
 
Adapun [[kalkulator ilmiah]] yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan {{mvar|[[e (konstanta matematika)|e]]}}.<ref>{{Citation|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, hlm.&nbsp;21</ref> Logaritma terhadap setiap bilangan pokok {{mvar|b}} dapat ditentukan menggunakan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:
 
: <math> ^b\!\log x = \frac{^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b} = \frac{^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}.</math>
Baris 101:
Jadi, {{math|<sup>10</sup>log&thinsp;''x''}} berkaitan dengan jumlah [[digit desimal]] suatu bilangan bulat positif {{mvar|x}}: jumlah digitnya merupakan [[bilangan bulat]] terkecil yang lebih besar dari {{math|<sup>10</sup>log&thinsp;''x''}}.<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, p.&nbsp;20</ref> Sebagai contoh, {{math|<sup>10</sup>log 1430}} kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam [[teori informasi]], logaritma alami dipakai dalam [[Nat (unit)|nat]] dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam [[bit]] sebagai satuan dasar informasi.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logaritma biner juga dipakai dalam [[sistem biner]] ada yang dimana-mana dalam [[ilmu komputer]]. Dalam [[teori musik]], rasio tinggi nada kedua (yaitu [[oktaf]]) ada di mana-mana dan jumlah [[Sen (musik)|sen]] antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per [[setengah nada]] dengan [[temperamen yang sama]]). Dalam [[fotografi]], logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur [[nilai eksposur]], [[Luminans|tingkatan cahaya]], [[waktu eksposur]], [[tingkap]], dan [[kecepatan film]] dalam "stop".<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>
 
Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Ada beberapa mata pelajaran yang menulis {{math|log&thinsp;''x''}} daripada {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}, dan adapula notasi {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''x''}} yang juga muncul pada beberapa mata pelajaran.<ref>{{Citation|url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html|author1=Franz Embacher|author2=Petra Oberhuemer|title=Mathematisches Lexikon|publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium|access-date=22 March 2011|language=de}}</ref> Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankandiusul oleh [[Organisasi Standardisasi Internasional]], yakni [[ISO 80000-2]].<ref>Quantities and units – Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2</ref> Karena notasi {{math|log {{mvar|x}}}} telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau mata pelajarannya. Sebagai contoh, {{Math|log}} biasanya mengacu pada {{math|<sup>2</sup>log}} dalam ilmu komputer, dan {{Math|log}} mengacu pada {{math|<sup>''e''</sup>log}}.<ref>{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|date=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms&nbsp;... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> Dalam konteks lainnya, {{Math|log}} seringkali mengacu pada {{math|<sup>10</sup>log}}.<ref>{{citation|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|edition=illustrated|first1=David F.|last1=Parkhurst|publisher=Springer Science & Business Media|date=2007|isbn=978-0-387-34228-3|page=288|url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }}}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
! scope="col" |Bilangan pokok
Baris 163:
[[Logaritma biasa]] suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh [[Archimedes]] sebagai “urutan bilangan”.<ref>{{citation|last=Pierce|first=R. C. Jr.|date=January 1977|doi=10.2307/3026878|issue=1|journal=[[The Two-Year College Mathematics Journal]]|jstor=3026878|pages=22–26|title=A brief history of logarithms|volume=8}}</ref> Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer {{isbn|978-0-387-92153-2}}</ref> Metode tersebut disebut [[prosthafaeresis]].
 
Penemuan [[fungsi (matematika)|fungsi]] sekarang yang dikenal sebagai [[logaritma alami]] dimulai sebagaiketika upaya[[Grégoire de Saint-Vincent]] mencoba untuk membuat [[kuadratur (matematika)|kuadratur]] dari [[hiperbola]] persegi panjang oleh [[Grégoire de Saint-Vincent]], seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis ''[[The Quadrature of the Parabola]]'' pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Kaitan yang disediakan logaritma berupa antara [[barisan dan deret geometri]] dalam [[argumen dari sebuah fungsi|argumen]] dan nilai [[barisan dan deret aritmetika]], meminta [[A. A. de Sarasa|ASarasa]] untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam [[prosthafaeresis]], yang mengarah ke sebuah istilah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh [[Christiaan Huygens]] dan [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]]. Notasi Log y diadopsi oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1675,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> dan tahun berikutnya dia mengaitkannya dengan [[kalkulus integral|integral]] <math display="inline">\int \frac{dy}{y} .</math>
 
Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, [[Roger Cotes#Matematika|Roger Cotes]] memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa<ref>{{citation|last1=Stillwell|first1=J.|title=Mathematics and Its History|date=2010|publisher=Springer|edition=3}}</ref>
Baris 210:
Penerapan penting lainnya adalah [[mistar hitung]], sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, [[mistar Gunter]], ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh [[William Oughtred]] untuk menciptakan mistar hitung—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:
[[Berkas:Slide_rule_example2_with_labels.svg|al=Kaidah geser: dua persegi panjang dengan sumbu yang dicentang secara logaritmik, pengaturan untuk menambahkan jarak dari 1 ke 2 ke jarak dari 1 ke 3, menunjukkan produk 6.|pus|jmpl|550x550px|Penggambaran skema mengenai mistar hitung. Dimulai dari 2 pada skala di bawah, lalu tambahkan dengan jarak ke 3 pada skala atas agar mencapai hasil kali 6. Mistar hitung bekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke <math>x</math> sebanding dengan logaritma <math>x</math>.]]
Misalnya, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bagian bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di bagian atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.<ref name="ReferenceA2">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=sections 1, 13}}</ref>
 
== Sifat analitik ==
Baris 216:
 
=== Keberadaan ===
Misalkan {{mvar|b}} adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>&thinsp;''x''</sup>}}. Pernyataan yang diikuti dari [[teorema nilai antara]] ini,<ref name="LangIII.3">{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|year=1997|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|author1-link=Serge Lang}}, bagian III.3</ref> merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah ({{Lang-en|domain}}) dan kisarannya ({{Lang-en|range}}). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa {{mvar|f}} yang [[Fungsi monoton|menaik sempurna]] (untuk {{math|''b'' > 1}}), atau menurun sempurna (untuk {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}})<ref name="LangIV.2">{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=section IV.2}}</ref> merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah <math>\R</math> dan memiliki kisaran <math>\R_{> 0}</math>. Oleh karena itu, {{Mvar|f}} merupajanmerupakan fungsi bijeksi dari <math>\R</math> ke <math>\R_{>0}</math>. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif {{Mvar|y}}, terdapat setidaknya satu bilangan real {{Mvar|x}} sehingga <math>b^x = y</math>.
 
Misalkan <math>^b\!\log\colon\R_{>0}\to\R</math> yang menyatakan kebalikan fungsi {{Mvar|f}}. Dalam artian, {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''y''}} merupakan bilangan real tunggal {{mvar|x}} sehingga <math>b^x = y</math>. Fungsi ini disebut ''fungsi logaritma'' dengan bilangan pokok-{{Mvar|b}} atau ''fungsi logaritmik'' (atau ''logaritma'' saja).
Baris 231:
=== Grafik fungsi logaritma ===
[[Berkas:Logarithm_inversefunctiontoexp.svg|al=The graphs of two functions.|ka|jmpl|Grafik fungsi logaritma{{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;(''x'')}} (berwarna biru) diperoleh dengan [[Refleksi (matematika)|mencerminkan]] grafik fungsi {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (berwarna merah) di garis diagonal({{math|1=''x'' = {{mvar|y}}}}).]]
Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi {{math|<sup>''b''</sup>log}} invers terhadap fungsi eksponensial <math>x\mapsto b^x</math>. Karena itu, [[Grafik fungsi|grafik]]nya berkorespondensi dengan satu sama lagilain saat menukar koordinat-{{mvar|x}} dan koordinat-{{mvar|y}} (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal {{Math|1=''x'' = ''y''}}), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}<sup>''t''</sup>)}} pada grafik dari {{Mvar|f}} menghasilkan sebuah titik {{math|1=(''u'', ''t'' = <sup>''b''</sup>log&thinsp;''u'')}} pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;(''x'')}} [[Barisan divergen|divergen menuju takhingga]] (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika {{mvar|x}} naik menuju takhingga, asalkan {{mvar|b}} lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, {{math|<sup>''b''</sup>log(''x'')}} merupakan [[fungsi menaik]]. Sedangkan untuk kasus {{math|''b'' < 1}}, {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;(''x'')}} cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika {{mvar|x}} mendekati nol, {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''x''}} menuju ke negatif takhingga untuk {{math|''b'' > 1}} dan menuju ke plus takhingga untuk {{math|''b'' < 1}}.
 
=== Turunan dan antiturunan ===
[[Berkas:Logarithm_derivative.svg|al=Sebuah grafik fungsi logaritma dan sebuah garis yang menyinggungnya di sebuah titik.|ka|jmpl|220x220px|Grafik fungsi [[logaritma alami]] (berwarna hijau) beserta garis singgungnya di {{math|''x'' {{=}} 1,5}} (berwarna hitam)]]
Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya.<ref name="LangIII.3" /> Jadi, ketika {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} adalah fungsi kontinu dan [[fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]], maka {{math|<sup>''b''</sup>log&thinsp;''y''}} fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika [[turunan]] dari {{math|''f''(''x'')}} menghitung nilai {{math|ln(''b'') ''b''<sup>''x''</sup>}} melalui sifat-sifat [[fungsi eksponensial]], [[aturan rantai]] menyiratkan bahwa turunan dari {{math|log<subsup>''b''</subsup>log&thinsp;''x''}} dirumuskan sebagai <ref name="LangIV.2" /><ref>{{citation|work=Wolfram Alpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=15 March 2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>
 
: <math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}. </math>
Baris 281:
: <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
 
[[Limit barisan|konvergen]] (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikeanldikenal sebagai [[konstanta Euler–Mascheroni]] {{math|1=''γ'' = 0.5772...}}. Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti ''[[quicksort]]''.<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>
 
=== Transendensi logaritma ===
Baris 288:
== Perhitungan ==
[[Berkas:Logarithm_keys.jpg|jmpl|Tombol logaritma (LOG sebagai bilangan pokok 10 dan LN sebagai bilangan pokok {{mvar|e}}) pada sebuah kalkulator grafik [[TI-83 series|TI-83 Plus]].]]
Logaritma merupakan alat perhitungan yang mudah pada beberapa kasus, misalnya {{math|1=<sup>10</sup>log&thinsp;1000 = 3}}. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui [[deret kuasa]] atau [[purata aritmetik–geometrik]], atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan.<ref>{{Citation|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, section 6.3, pp.&nbsp;105–11</ref> [[Metode Newton]], sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, section 1 for an overview</ref> Dengan melihat tabel logaritma, metode seperti [[CORDIC]] dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan [[geseran aritmetika|geseran bit]].<ref>{{Citation|url=https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation|last=Kahan|first=W.|author-link=William Kahan|title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|date=20 May 2001}}</ref> Terlebih lagi, [[Logaritma biner#Algoritma|algoritma dari logaritma biner]] menghitung {{math|lb(''x'')}} [[Rekursi|secara berulang]], berdasarkan penguadratan {{mvar|x}} yang berulang, dengan memanfaatkan relasikaitan berikut
 
: <math>^2\!\log\left(x^2\right) = 2 \cdot \, ^2\!\log |x|.</math>
Baris 370:
Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan [[kekararan skala]]. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang [[nautilus]] memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk [[spiral logaritma]].<ref>{{Harvard citations|last1=Maor|year=2009|nb=yes|loc=p. 135}}</ref> [[Hukum Benford]] mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala.<ref>{{Citation|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki [[Kemiripan diri|kemiripan terhadap diri sendiri]]. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang alogritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya.<ref>{{Citation|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, p.&nbsp;21, section 1.3.2</ref> Dimensi dari bentuk geometrik yang menyerupai diri sendiri, dalam artian, bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. [[Skala logaritmik]] berguna untuk mengukur perubahan relatif suatu nilai sebagai lawan dari selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik {{math|log(''x'')}} menaik sangat lambat untuk nilai besar{{mvar|x}}, skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti [[persamaan roket Tsiolkovsky]], [[persamaan Fenske]], atau [[persamaan Nernst]].
 
=== SkalaDalam skala logaritmik ===
{{Main|Logarithmic scale}}
[[Berkas:Germany_Hyperinflation.svg|al=A graph of the value of one mark over time. The line showing its value is increasing very quickly, even with logarithmic scale.|ka|jmpl|A logarithmic chart depicting the value of one [[German gold mark|Goldmark]] in [[German Papiermark|Papiermarks]] during the [[Inflation in the Weimar Republic|German hyperinflation in the 1920s]]]]
Baris 379:
[[Semi-log plot|Semilog]] (log–linear) graphs use the logarithmic scale concept for visualization: one axis, typically the vertical one, is scaled logarithmically. For example, the chart at the right compresses the steep increase from 1&nbsp;million to 1&nbsp;trillion to the same space (on the vertical axis) as the increase from 1 to 1&nbsp;million. In such graphs, [[Exponential function|exponential functions]] of the form {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''b''{{i sup|''x''}}}} appear as straight lines with [[slope]] equal to the logarithm of {{mvar|b}}. [[Log-log plot|Log-log]] graphs scale both axes logarithmically, which causes functions of the form {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · ''x''{{i sup|''k''}}}} to be depicted as straight lines with slope equal to the exponent&nbsp;{{mvar|k}}. This is applied in visualizing and analyzing [[Power law|power laws]].<ref>{{Citation|last1=Bird|first1=J.O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book|publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3rd|isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, section 34</ref>
 
=== PsikologiDalam psikologi ===
Logarithms occur in several laws describing [[human perception]]:<ref>{{Citation|last1=Goldstein|first1=E. Bruce|title=Encyclopedia of Perception|url={{google books |plainurl=y |id=Y4TOEN4f5ZMC}}|publisher=Sage|location=Thousand Oaks, CA|series=Encyclopedia of Perception|isbn=978-1-4129-4081-8|year=2009}}, pp.&nbsp;355–56</ref><ref>{{Citation|last1=Matthews|first1=Gerald|title=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences|url={{google books |plainurl=y |id=0XrpulSM1HUC}}|publisher=Psychology Press|location=Hove|isbn=978-0-415-04406-6|year=2000}}, p.&nbsp;48</ref> [[Hick's law]] proposes a logarithmic relation between the time individuals take to choose an alternative and the number of choices they have.<ref>{{Citation|last1=Welford|first1=A.T.|title=Fundamentals of skill|publisher=Methuen|location=London|isbn=978-0-416-03000-6|oclc=219156|year=1968}}, p.&nbsp;61</ref> [[Fitts's law]] predicts that the time required to rapidly move to a target area is a logarithmic function of the distance to and the size of the target.<ref>{{Citation|author=Paul M. Fitts|date=June 1954|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|journal=Journal of Experimental Psychology|volume=47|issue=6|pages=381–91|pmid=13174710|doi=10.1037/h0055392|s2cid=501599|url=https://semanticscholar.org/paper/3087289229146fc344560478aac366e4977749c0}}, reprinted in {{Citation|journal=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|issue=3|pages=262–69|year=1992|pmid=1402698|url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf|access-date=30 March 2011|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|author=Paul M. Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> In [[psychophysics]], the [[Weber–Fechner law]] proposes a logarithmic relationship between [[Stimulus (psychology)|stimulus]] and [[Sensation (psychology)|sensation]] such as the actual vs. the perceived weight of an item a person is carrying.<ref>{{Citation|last1=Banerjee|first1=J.C.|title=Encyclopaedic dictionary of psychological terms|publisher=M.D. Publications|location=New Delhi|isbn=978-81-85880-28-0|oclc=33860167|year=1994|url={{google books |plainurl=y |id=Pwl5U2q5hfcC|page=306}}|page=304}}</ref> (This "law", however, is less realistic than more recent models, such as [[Stevens's power law]].<ref>{{Citation|last1=Nadel|first1=Lynn|author1-link=Lynn Nadel|title=Encyclopedia of cognitive science|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-01619-0|year=2005}}, lemmas ''Psychophysics'' and ''Perception: Overview''</ref>)
 
Psychological studies found that individuals with little mathematics education tend to estimate quantities logarithmically, that is, they position a number on an unmarked line according to its logarithm, so that 10 is positioned as close to 100 as 100 is to 1000. Increasing education shifts this to a linear estimate (positioning 1000 10 times as far away) in some circumstances, while logarithms are used when the numbers to be plotted are difficult to plot linearly.<ref>{{Citation|doi=10.1111/1467-9280.02438|journal=Psychological Science|archive-date=17 May 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|access-date=7 January 2011|s2cid=9583202|citeseerx=10.1.1.727.3696|pmid=12741747|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|year=2003|last1=Siegler|pages=237–43|issue=3|volume=14|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|first2=John E.|last2=Opfer|first1=Robert S.|url-status=dead}}</ref><ref>{{Citation|last1=Dehaene|issue=5880|bibcode=2008Sci...320.1217D|journal=Science|year=2008|pmid=18511690|pmc=2610411|doi=10.1126/science.1156540|pages=1217–20|volume=320|first1=Stanislas|title=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|first4=Pierre|last4=Pica|first3=Elizabeth|last3=Spelke|first2=Véronique|last2=Izard|citeseerx=10.1.1.362.2390}}</ref>
 
=== TeoriDalam teori peluang dan statistika ===
[[Berkas:PDF-log_normal_distributions.svg|al=Three asymmetric PDF curves|ka|jmpl|Three [[Probability density function|probability density functions]] (PDF) of random variables with log-normal distributions. The location parameter&nbsp;{{math|μ}}, which is zero for all three of the PDFs shown, is the mean of the logarithm of the random variable, not the mean of the variable itself.]]
[[Berkas:Benfords_law_illustrated_by_world's_countries_population.png|al=A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.|ka|jmpl|Distribution of first digits (in %, red bars) in the [[List of countries by population|population of the 237 countries]] of the world. Black dots indicate the distribution predicted by Benford's law.]]
Baris 395:
[[Benford's law]] describes the occurrence of digits in many [[Data set|data sets]], such as heights of buildings. According to Benford's law, the probability that the first decimal-digit of an item in the data sample is {{Mvar|d}} (from 1 to 9) equals {{math|log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>&thinsp;(''d'')}}, ''regardless'' of the unit of measurement.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|author-link1=Sergei Tabachnikov|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, section 2.1</ref> Thus, about 30% of the data can be expected to have 1 as first digit, 18% start with 2, etc. Auditors examine deviations from Benford's law to detect fraudulent accounting.<ref>{{citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi|first2=William|last2=Hillison|first3=Carl|last3=Pacini|url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|volume=V|pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|archive-date=29 August 2017|access-date=28 May 2018}}</ref>
 
=== KompleksitasDalam kompleksitas perhitungan ===
[[Analysis of algorithms]] is a branch of [[computer science]] that studies the [[Time complexity|performance]] of [[Algorithm|algorithms]] (computer programs solving a certain problem).<ref name="Wegener">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, pp. 1–2</ref> Logarithms are valuable for describing algorithms that [[Divide and conquer algorithm|divide a problem]] into smaller ones, and join the solutions of the subproblems.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, p.&nbsp;143</ref>
 
Baris 402:
A function&nbsp;{{math|''f''(''x'')}} is said to [[Logarithmic growth|grow logarithmically]] if {{math|''f''(''x'')}} is (exactly or approximately) proportional to the logarithm of {{mvar|x}}. (Biological descriptions of organism growth, however, use this term for an exponential function.<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, chapter 19, p.&nbsp;298</ref>) For example, any [[natural number]]&nbsp;{{mvar|N}} can be represented in [[Binary numeral system|binary form]] in no more than {{math|log<sub>2</sub>&thinsp;''N'' + 1}}&nbsp;[[Bit|bits]]. In other words, the amount of [[Memory (computing)|memory]] needed to store {{mvar|N}} grows logarithmically with {{mvar|N}}.
 
=== EntropiDalam entropi dan kekacauan ===
[[Berkas:Chaotic_Bunimovich_stadium.png|al=An oval shape with the trajectories of two particles.|ka|jmpl|[[Dynamical billiards|Billiards]] on an oval [[billiard table]]. Two particles, starting at the center with an angle differing by one degree, take paths that diverge chaotically because of [[Reflection (physics)|reflections]] at the boundary.]]
[[Entropy]] is broadly a measure of the disorder of some system. In [[statistical thermodynamics]], the entropy&nbsp;''S'' of some physical system is defined as
Baris 412:
[[Lyapunov exponent|Lyapunov exponents]] use logarithms to gauge the degree of chaoticity of a [[dynamical system]]. For example, for a particle moving on an oval billiard table, even small changes of the initial conditions result in very different paths of the particle. Such systems are [[Chaos theory|chaotic]] in a [[Deterministic system|deterministic]] way, because small measurement errors of the initial state predictably lead to largely different final states.<ref>{{Citation|last1=Sprott|first1=Julien Clinton|title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows|journal=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|url={{google books |plainurl=y |id=buILBDre9S4C}}|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0|year=2010|bibcode=2010ecas.book.....S|doi=10.1142/7183}}, section 1.9</ref> At least one Lyapunov exponent of a deterministically chaotic system is positive.
 
=== FraktalDalam fraktal ===
[[Berkas:Sierpinski_dimension.svg|al=Parts of a triangle are removed in an iterated way.|ka|jmpl|400x400px|The Sierpinski triangle (at the right) is constructed by repeatedly replacing [[Equilateral triangle|equilateral triangles]] by three smaller ones.]]
Logarithms occur in definitions of the [[Fractal dimension|dimension]] of [[Fractal|fractals]].<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Fractals are geometric objects that are self-similar in the sense that small parts reproduce, at least roughly, the entire global structure. The [[Sierpinski triangle]] (pictured) can be covered by three copies of itself, each having sides half the original length. This makes the [[Hausdorff dimension]] of this structure {{math|ln(3)/ln(2) ≈ 1.58}}. Another logarithm-based notion of dimension is obtained by [[Box-counting dimension|counting the number of boxes]] needed to cover the fractal in question.
 
=== MusikDalam musik ===
{{multiple image
| direction = vertical
Baris 465:
|}
 
=== TeoriDalam teori bilangan ===
[[Logaritma alami]] sangat berkaitan dengan salahssalah satu topik dalam [[teori bilangan]], yaitu [[fungsi penghitungan bilangan prima|menghitung bilangan prima]]. Untuk setiap [[bilangan bulat]]&nbsp;{{mvar|x}}, jumlah [[bilangan prima]] kurang dari sama dengan {{mvar|x}} dinyatakan sebagai {{math|[[fungsi penghitungan bilangan prima|{{pi}}(''x'')]]}}. [[Teorema bilangan prima]] mengatakan bahwa {{math|{{pi}}(''x'')}} kira-kira sama dengan
 
: <math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
 
yang berarti bahwa fungsi penghitungnpenghitungan bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari {{math|{{pi}}(''x'')}} dan pecahan yang mendekati 1 ketika {{mvar|x}} menuju ke takhingga.<ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P.T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3|oclc=492669517|year=2004}}, theorem 4.1</ref> Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan {{mvar|x}} adalah bilangan prima [[Kesebandingan (matematika)|berbanding]] terbalik dengan jumlah digit desimal {{mvar|x}}. Pendekatan {{math|{{pi}}(''x'')}} yang lebih baik merupakan [[Fungsi integral logaritmik|fungsi integral Euler]] {{math|Li(''x'')}}, yang didefinisikan sebagai
 
: <math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>
Baris 485:
 
=== Logaritma kompleks ===
{{Main|ComplexLogaritma logarithmkompleks}}
[[Berkas:Complex_number_illustration_multiple_arguments.svg|al=Sebuah ilustrasi mengenai bentuk polar: sebuah titik yang dijelaskan melalui sebuah panah atau secara ekuivalen melalui panjang dan sudutnya ke sumbu-x.|ka|jmpl|Bentuk polar dari {{math|''z {{=}} x + iy''}}. {{mvar|φ}} dan {{mvar|φ'}} merupakan argumen dari {{mvar|z}}.]]
Semua [[bilangan kompleks]] {{mvar|a}} yang menyelesaikan persamaan
Baris 501:
: <math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi )= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>
 
untuk setiap bilangan bulat&nbsp;{{mvar|k}}. Nyatanya argumen dari {{mvar|z}} tidak dijelaskan secara unik: bilangan {{mvar|φ}} dan {{Math|1=''φ''' = ''φ'' + 2''k''{{pi}}}} merupakan argumen valid dari {{mvar|z}} untuk semua bilangan bulat&nbsp;{{mvar|k}}, karena menambahkan {{Math|2''k''{{pi}}}}&nbsp;[[Radian|radian]] atau ''k''⋅360°{{refn|Lihat [[radian]] untuk konversi antara 2[[pi|{{pi}}]] dengan 360 [[derajat (sudut)|derajat]].|group=nb}} ke bilangan {{mvar|φ}} <u>corresponds to "winding" around the origin counter-clock-wise by {{mvar|k}}&nbsp;[[Turn (geometry)|turns]]</u>. The resulting complex number is always {{mvar|z}}, as illustrated at the right for {{math|''k'' {{=}} 1}}. One may select exactly one of the possible arguments of {{mvar|z}} as the so-called ''principal argument'', denoted {{math|Arg(''z'')}}, with a capital&nbsp;{{math|A}}, by requiring {{mvar|φ}} to belong to one, conveniently selected turn, e.g. {{Math|−{{pi}} < ''φ'' ≤ {{pi}}}}<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> or {{Math|0 ≤ ''φ'' < 2{{pi}}}}.<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|journal=London: Hilger|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007|bibcode=1974aitc.book.....W}}, section 5.9</ref> These regions, where the argument of {{mvar|z}} is uniquely determined are called [[Principal branch|''branches'']] of the argument function.
[[Berkas:Complex_log_domain.svg|al=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.|ka|jmpl|The principal branch (-{{pi}}, {{pi}}) of the complex logarithm, {{math|Log(''z'')}}. The black point at {{math|''z'' {{=}} 1}} corresponds to absolute value zero and brighter colors refer to bigger absolute values. The [[hue]] of the color encodes the argument of {{math|Log(''z'')}}.]]
[[Rumus Euler]] mengaitkan [[fungsi trigonometri]] [[sinus (trigonometri|sinus]] dan [[kosinus (trigonometri)|kosinus]] dengan [[Rumus Euler|eksponensial kompleks]]:
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_01/16"