|
== Turunan tingkat tinggi ==
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi terdiferensialkan, dan misalkan <math>f'</math> sebagaiadalah fungsi turunannya. Turunan dari <math>f'</math> (jika ada) ditulis sebagai <math>f''</math> dan disebut ''[[turunan kedua]] dari <math>f</math>''. Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai <math>f'''</math> dan disebut ''[[turunan ketiga]] dari <math>f</math>''.; Melanjutkandan proses ini, turunan ke-{{math|''n''}} dari fungsi dapat didefinisikan, jika turunan tersebut ada, sebagai turunan dari turunan ke-{{math|(''n''−1)}} dari fungsiseterusnya. Turunan berulang ini disebut ''turunan tingkat tinggi''. Turunan ke-{{math|''n''}} juga dapat dituliskan sebagai <math>f^{(n)}</math>. Jika <math>x(t)</math> menyatakan posisi suatu objek pada waktu <math>t</math>, maka turunan tingkat tinggi dari <math>x</math> memiliki interpretasi khusus dalam bidang [[fisika]]. Turunan pertama dari <math>x</math> menyatakan [[kecepatan]] objek, turunan kedua menyatakan besar [[Percepatan|akselerasinya]], sedangkan turunan ketiga dari <math>x</math> menyatakan [[Sentakan (fisika)|sentakan]].
=== Fungsi mulus ===
Sebuah fungsi <math>f</math> tidak harus memiliki turunan (sebagai contoh, karena fungsi tersebut tidak kontinu). Serupa dengan itu, bahkan jika <math>f</math> memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi ▼{{Main|Fungsi mulus}}
▲Sebuah fungsi <math>f</math>yang tidakdapat harusditurunkan memilikitak turunanhingga kali disebut ''fungsi mulus''. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; (sebagai contoh, karena fungsi tersebut<math>f</math> yang tidak kontinu ) tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika <math>f</math> memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi
: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
Perhitungan menunjukkan bahwa <math>f'(x)=2|x|</math> adalah fungsi yang terdiferensialkan dengannamun besartidak memiliki turunan di <nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>xk</mathsup>''}}. dinyatakan sebagai
: <math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{jika }x\ge 0 \\ -2x, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>
<math>f'(x)</math> adalah dua kali [[Nilai mutlak|fungsi nilai mutlak]] dari <math>x</math>, dan tidak memiliki turunan di nol. Contoh yang mirip dapat dibuat untuk menunjukkan sebuah fungsi dapat memiliki turunan ke-{{math|''k''}} namun tidak memiliki turunan ke-{{math|(''k'' + 1)}}. Jika suatu fungsi dapat diturunkan {{math|''k''}} kali berturut-turut dan turunan ke-{{math|''k''}}-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota [[Kemulusan (matematika)|kelas keterdiferensialan]] {{math|''C<sup>k</sup>''}}. Sebuah fungsi yang memiliki tak hingga banyaknya turunan disebut ''[[Kemulusan (matematika)|fungsi mulus]]''.
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
{{Main|Teorema Taylor}}
Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan aturan perhitungan turunan (lihat bagian di bawah), sebuah polinomial berderajat {{math|''n''}} akan menjadi [[fungsi konstan]] jika diturunkan sebanyak {{math|''n''}} kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (ada). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi <math>f</math> di suatu titik <math>x</math>, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik <math>x</math>. Sebagai contoh, jika <math>f</math> terdiferensialkan dua kali, maka
: <math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math>
=== Kaidah untuk turunan tingkat tinggi ===
* [[Kaidah darab|''Aturan Leibniz'']]
*: Jika <math>f</math> dan <math>g</math> dapat diturunkan sebanyak <math>n</math> kali, maka turunan ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f(x)\cdot g(x)</math> adalah
*: <math>(fg)^{(n)}= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.</math>Ekspresi <math display="inline">\binom{n}{k}</math> yang muncul pada persamaan tersebut menandakan [[koefisien binomial]]. Aturan ini adalah perumuman dari [[kaidah darab]].
== Turunan pada sistem bilangan kompleks ==
| 