Turunan: Perbedaan antara revisi

{{Under construction}}{{Kalkulus}}

{{about|istilah yang digunakan dalam kalkulus|ulasan teknisyang lebih umum|kalkulus diferensial|kegunaan lainnya|}}

<nowiki>{{Dalam </nowiki>[[matematika]], '''turunan''' atau '''derivatif''' dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur [[kecepatan]] benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam [[kalkulus]].

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks iniJacobi tereduksi menjadi [[Gradien|vektor gradien]].

Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik adalahmenandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.[[Berkas:Wiki_slope_in_2d.svg|thumb|Kemiringan dari fungsi linear {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''mx'' + ''b''}} adalah <math>m=\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]Kasus sederhana dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} adalah [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]] yang memiliki persamaan {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''mx'' + ''b''}}, dengan bilangan real {{math|''m''}} dan {{math|''b''}}. Kemiringan dari fungsi ini, {{math|''m''}}, dinyatakan dengan

[[Berkas:Tangent_animation.gif|jmpl|250x250px|Garis sekan yang berubah menjadi garis singgung ketika <math>\Delta x \to 0</math>.]]

Fungsi kuadrat memiliki persamaan {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''²}} dan diferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 3}}, dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan dengandari menghitung limit dengan {{math|''h''}} menuju nol, dari persamaan beda {{math|''f''(3)}}:

Sebuah fungsi dengan variabel [[Bilangan real|real]], <math>y=f(x)</math>, dikatakan ''terdiferensialkan'' atau ''dapat diturunkan'' pada suatu titik <math>a</math> di [[Ranah fungsi|domainnya]], jika domain fungsi tersebut mengandung suatu [[Selang (matematika)|interval buka]] <math>I</math> yang beranggotakan <math>a</math>, dan nilai [[limit]]

== Kekontinuan dan Keterdiferensialanketerdiferensialan ==

JikaFungsi {{<math|''>f''}}</math> yang terdiferensialkan di {{suatu titik <math|''>a''}}</math>, makajuga {{math|''f''}}akan harus jugabersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] di {{math|''a''}}titik tersebut. Sebagai contoh, pilihdari sembarangsifat titik {{math|''a''}} danini, misalkan fungsi tidak kontinu {{math|''f''}} sebagai adalah [[Fungsi tangga Heaviside|fungsi tangga]] yang menghasilkan nilai 1 untuk semua {{math|''x''}} kurang dari nilai {{math|''a''}}, dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai {{math|''x''}} yang lebih besar atau sama dengan {{math|''a''}}. Fungsi {{math|''f''}} tidak dapat memiliki turunan di titik {{math|''a''}}. JikaUntuk nilai {{math|''h''}} yang negatif, makatitik {{math|''a'' + ''h''}} akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} akan sangat curam; dan semakin curam saat {{math|''h''}} menuju nol. Sedangkan jikanilai {{math|''h''}} yang positif, maka {{math|''a'' + ''h''}} terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju suatubesar kemiringan tertentuyang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.

Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan disanadi sana. Sebagai contoh, fungsi [[nilai mutlak]] {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}}}} bersifat kontinu di {{math|''x'' {{=}} 0}}, namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika {{math|''h''}} positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai 1, sedangkan jika {{math|''h''}} negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak terdiferensialkandapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''^1/3}} tidak terdiferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 0}}.

Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan aturan perhitungankaidah turunan (lihat bagian di bawah)pangkat, sebuah polinomial berderajat {{math|''n''}} akan menjadi [[fungsi konstan]] jika diturunkan sebanyak {{math|''n''}} kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (adafungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Rumus tersebut menyarankan bahwa <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan transformasi linear dari ruang vektor <math>\R^n</math> ke ruang vektor <math>\R^m</math>. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan <math>\left \| \mathbf{v} \right \|</math>, dimanadengan konstantanya bebas dari <math>\mathbf{v}</math> namun kontinu bergantung pada <math>\mathbf{a}</math>. Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya, <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{w}</math> menuju ke nol, <math>f'(\mathbf{a})</math> harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika <math>\mathbf{v}</math> menuju ke nol, <math>f'(\mathbf{a})</math> harus berupa transformasi linear.

Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran [[tak hingga]] dan [[infinitesimal]] (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real <math>\mathbb R</math>, dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada <math>1+1+\dots+1</math> (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real <math>y = f(x)</math> di titik real <math>x</math> dapat didefinisikan sebagai [[Bayangan (matematika)|bayangan]] perbandingan {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} untuk [[infinitesimal]] {{math|∆''x''}}, dimanadengan {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x'' + ∆''x'') − ''f''(''x'')}}. Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi <math>f</math> untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai <math>f</math>, dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.