Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Memperbaiki gaya bahasa, menghapus templat under construction |
|||
Baris 1:
{{about|istilah yang digunakan dalam kalkulus|ulasan
[[Berkas:Tangent to a curve.svg|jmpl|[[Grafik fungsi]] (warna hitam) dan [[garis tangen]] pada fungsi (warna merah). [[Kemiringan]] dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.]]
Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah [[Hampiran linear|hampiran (aproksimasi) linear]] terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai [[transformasi linear]], dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. [[Matriks Jacobi]] adalah [[Matriks (matematika)|matriks]] yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan [[turunan parsial]] dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks
Proses menemukan turunan disebut '''diferensiasi'''. Kebalikan proses ini disebut dengan ''[[antiturunan]]''. [[Teorema fundamental kalkulus]] menyatakan hubungan diferensiasi dengan [[integral|integrasi]]. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.
Baris 12:
== Pendahuluan ==
Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik
: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
Baris 40:
=== Asal-usul definisi ===
[[Berkas:Tangent_animation.gif|jmpl
Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Baris 61:
=== Contoh perhitungan ===
[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|Fungsi kuadrat]]
Fungsi kuadrat memiliki persamaan {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} dan diferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 3}}, dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan
<math display="block">
Baris 84:
== Definisi ==
Sebuah fungsi dengan variabel [[Bilangan real|real]], <math>y=f(x)</math>, dikatakan ''terdiferensialkan'' atau ''dapat diturunkan'' pada suatu titik <math>a</math> di [[Ranah fungsi|domainnya]], jika domain fungsi tersebut mengandung suatu [[Selang (matematika)|interval buka]] <math>I</math> yang beranggotakan <math>a</math>, dan nilai [[limit]]
<math display="block">L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math>ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] positif <math>\varepsilon</math> (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif <math>\delta</math> sedemikian sehingga, untuk semua {{mvar|h}} yang memenuhi <math>|h| < \delta</math> dan <math>h\ne 0</math>, menyebabkan nilai <math>f(a+h)</math> terdefinisi dan<math display="block">\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math>dengan bar vertikal menyatakan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] (lihat [[Limit fungsi|definisi epsilon-delta dari limit]]).
Baris 90:
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di <math>a</math>, dengan kata lain jika nilai limit <math>L</math> ada, maka nilai limit ini disebut ''turunan'' dari <math>f</math> di <math>a</math>, dan dinyatakan dengan <math>f'(a)</math> atau <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> (dibaca "turunan dari <math>f</math> terhadap <math>x</math> di <math>a</math>" atau "{{math|''dy''}} per {{math|''dx''}} di <math>a</math>").
== Kekontinuan dan
[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]
[[Berkas:Absolute_value.svg|ka|jmpl|Fungsi nilai mutlak bersifat kontinu, namun tidak dapat didiferensiasi di {{math|''x'' {{=}} 0}} karena garis sekannya tidak menghasilkan kemiringan yang sama ketika dihitung dari kiri dan dari kanan.]]
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan
Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.
Baris 227:
: <math>f(x) = x^4 + \sin \left(x^2\right) - \ln(x) e^x + 7</math>
dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:
<math display="block">
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}\Big(\cos \left(x^2\right)\Big) - \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}\Big(\ln(x)e^x\Big) + \frac{d}{dx}(7)
</math>Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari <math>\cos(x^2)</math>, sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan <math>\ln(x)e^x</math>:
: <math>
Baris 235 ⟶ 239:
\end{align}
</math>
== Turunan tingkat tinggi ==
Baris 251 ⟶ 253:
=== Polinomial Taylor dengan sisa ===
{{Main|Teorema Taylor}}
Pada [[garis bilangan real]], setiap [[fungsi polinomial]] terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi <math>f</math> di suatu titik <math>x</math>, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik <math>x</math>. Sebagai contoh, jika <math>f</math> terdiferensialkan dua kali, maka
Baris 395 ⟶ 397:
\end{align}</math>
Rumus tersebut menyarankan bahwa <math>f'(\mathbf{a})</math> merupakan transformasi linear dari ruang vektor <math>\R^n</math> ke ruang vektor <math>\R^m</math>. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan <math>\left \| \mathbf{v} \right \|</math>,
=== Kaidah untuk turunan fungsi multivariabel ===
Baris 404 ⟶ 406:
== Turunan pada sistem bilangan hiperreal ==
Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran [[tak hingga]] dan [[infinitesimal]] (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real <math>\mathbb R</math>, dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada <math>1+1+\dots+1</math> (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real <math>y = f(x)</math> di titik real <math>x</math> dapat didefinisikan sebagai [[Bayangan (matematika)|bayangan]] perbandingan {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} untuk [[infinitesimal]] {{math|∆''x''}},
== Perumuman ==
Baris 416 ⟶ 418:
* Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat [[aljabar diferensial]].
* Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah [[beda hingga]]. Dalam [[kalkulus skala waktu]], studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.
* Lihat pula [[turunan aritmetika]].▼
== Lihat pula ==
Baris 435 ⟶ 436:
* [[Sejarah kalkulus]]
* [[Teorema Radon–Nikodym]]
* [[Turunan fraktal]]
* [[Turunan Hasse]]
|