Pengguna:Hadithfajri/Himpunan: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
Tidak ada ringkasan suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
Baris 1:
{{Bak_pasir_pribadi}}
<!-- Sunting di bawah ini! -->[[Berkas:Venn_A_intersect_B.svg|jmpl|Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]]]
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat ''dibayangkan'' sebagai kumpulan objekbenda berbeda yang [[Definisi|terdefinisi]] dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh<ref>{{Cite book|last=Afidah Khairunnisa|date=2018|url=https://scholar.google.co.id/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=aX8YzqsAAAAJ&citation_for_view=aX8YzqsAAAAJ:roLk4NBRz8UC|title=Matematika Dasar|location=Depok|publisher=Rajawali Pers|isbn=978-979-769-764-8|url-status=live}}</ref>. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.
 
Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".<ref name=":2">{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref><ref>{{Cite book|last=Prof. Dr. Wahyudin M.Pd.|date=2019|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika-edisi-2|title=Hakikat dan Sejarah Matematika|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|url-status=live}}</ref>
Baris 26:
 
Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math display="inline">S</math>'', <math display="inline">A</math>'' atau <math display="inline">C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, ''<math display="inline">z</math>'').
 
=== Kesamaan dua himpunan ===
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda<ref name=":1" />, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' disebut sama, jika setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''<math>B</math>'', dan sebaliknya, setiap anggota ''<math>B</math>'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Prinsip kesamaan ini sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]].
 
Dengan prinsip ini dapat kita mengatakan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math>. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>.
 
=== Menyatakan dan menuliskan himpunan ===
Baris 56 ⟶ 63:
: <math>A \supseteq B \equiv B \subseteq A</math>
 
:
=== Kesamaan dua himpunan ===
Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''B'' disebut sama, jika setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''B'', dan sebaliknya, setiap anggota ''B'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
: <math>A = B \equiv {\displaystyle A} \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>.
Baris 148 ⟶ 153:
<!--
Hasil karya al-azhar 29 BSB
-->
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.
Baris 161 ⟶ 167:
:* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}
:* | ''A'' × ''B'' | = | ''B'' × ''A'' | = | ''A'' | × | ''B'' |.
 
-->
{| style="margin: 0 auto;"
|[[Berkas:Venn0100.svg|thumb|Komplemen B terhadap ''<math>A</math>''.|222x222px]]
Baris 169 ⟶ 175:
 
== Aljabar himpunan ==
Operasi antara dua himpunan atau lebih akan mematuhi berbagai hukum yang merupakan identitas. Beberapa hukum operasi himpunan ini mirip dengan hukum yang berlaku pada operasi bilangan riil. Sehingga hukum-hukum ini juga disebut '''hukum aljabar himpunan'''<ref name=":1">{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>'''.'''
# Hukum komutatif
#* p ∩ q ≡ q ∩ p
Baris 202 ⟶ 208:
#* S' ≡ ∅
#* ∅' ≡ S
 
<!--
== Fungsi Karakteristik ==
{{utama|Fungsi indikator}}
Baris 227 ⟶ 235:
 
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti [[union]] (gabungan), [[interseksi]] (irisan), dan [[komplemen]] (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan [[operasi bit]] untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler [[Pascal]] dan juga [[Delphi]]<ref>[http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html Delphi 5 Memory Management] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070805064511/http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html|date=2007-08-05}}</ref>.
 
-->
 
== Lihat juga ==