|
'''Teorema Euklides–Euler''' adalah sebuah [[teorema]] dalam [[teori bilangan]] yang mengaitkan [[bilangan sempurna]] dengan [[bilangan prima Mersenne]]. Teorema ini mengatakan bahwa bilangan genap dikatakan sempurna jika [[jika dan hanya jika]] bilangan tersebut mempunyai bentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}}, dengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} adalah [[bilangan prima]]. Teorema ini dinamai dari matematikawan bernama [[Euklides]] yang membuktikan aspek dari teorema "jika", dan [[Leonhard Euler]] yang membuktikan aspek dari teorema "hanya jika".
Teorema ini telah diduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne. Walaupun kebenaran dari konjektur ini masih belum terungkap, tetapi menurut teorema Euklides–Euler, ini menyerupai dengan sebuah konjektur yang katanya ada tak berhingga banyaknya bilangan sempurna genap. Sayangnya, masih dibelum ketahui adakah bilangan sempurna ganjil yang tunggal.<ref name="stillwell" />
Teorema Eukildes–Euler mengatakan bahwa sebuah bilangan asli genap disebut sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut berbentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>''M''<sub>''p''</sub>}}, dengan {{math|''M''<sub>''p''</sub>}} adalah bilangan prima Mersenne.<ref name="stillwell">{{citation|title=Mathematics and Its History|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=John|last=Stillwell|authorlink=John Stillwell|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|page=40|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40}}.</ref> Sebagai contoh, bilangan sempurna 6 didapatkan ketika memasukkan {{math|1=''p'' = 2}} ke {{nowrap|1=2<sup>2−1</sup>{{mvar|M}}<sub>2</sub> = 2 × 3 = 6}}; dan memasukkan bilangan prima Mersenne 7 ke ekspresi yang serupa memperoleh bilangan sempurna 28.
== HistorySejarah ==
EuclidEuklides provedmembuktikan thatbahwa {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} isadalah ansebuah evenbilangna perfectprima numbergenap wheneverdengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} isadalah primebilangan prima. ThisBukti istersebut theadalah finalhasil resultterakhir ontentang [[numberteori theorybilangan]] indalam buku miliknya, ''[[Euclid'sElemen ElementsEuklides|Euclid's ''Elements]]'']]; thebuku laterterakhir books in thedi ''Elements'' instead concernmelibatkan [[irrationalbilangan numberirasional]]s, [[solidgeometri geometrypadat]], and thedan [[goldenrasio ratioemas]]. EuclidEukildes expressesmengemukakan thehasilnya resultdengan bymengatakan statingbahwa that if a finitejika [[geometricderet seriesgeometrik]] beginningterhingga dimulai dari at 1 withdengan rasio ratio 2 hasmempunyai ajumlah primebilangan sumprima {{mvar|q}}, thenmaka thisjumlah sumtersebut multipliedyang bydikalikan thedengan lastsuku termterakhir {{mvar|t}} indi thederet seriestersebut isdikatakan perfectsempurna. ExpressedKetika inmengekspresikan thesebentuk termstersebut, the sumjumlah {{mvar|q}} ofdari thederet finiteterhingga seriesmenghasilkan isbilangan theprima Mersenne prime {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} anddan thesuku last termterakhir {{mvar|t}} indalam thederet seriestersebut ismerupakan theperpangkatan powerdari of twodua {{math|2<sup>''p''−1</sup>}}. EuclidEuklides kemudian provesmembuktikan thatbahwa {{math|''qt''}} isdikatakan perfectsempurna bydengan observingmengamati thatderet thegeometrik geometricdengan seriesrasio with ratio 2 startingyang atdiawali dari {{mvar|q}}, withdengan thejumlah samesuku numberyang of termssama, issebanding proportionaldengan toderet the original series; therefore, sinceasli. theKarena originalderet seriesasli sumsdijumlahkan tosampai {{math|1=''q'' = 2''t'' − 1}}, themaka secondderet serieskedua sumsdijumlahkan sampai to {{math|1=''q''(2''t'' − 1) = 2''qt'' − ''q''}}, anddan bothkedua seriesderet togethertersebut addditambahkan tosampai {{math|2''qt''}}, twodua timeskali thedari supposedbilangan perfectsempurna numbersebelumnya. HoweverAkan tetapi, thesekedua twoderet seriestersebut areterlepas disjointdari fromsatu eachsama otherlain andserta (by theberdasarkan primalityprimalitas ofdari {{mvar|q}}) exhaustmenghabiskan allsemua thepembagi divisors ofdari {{math|''qt''}}, sosehingga {{math|''qt''}} hasmempunyai divisorspembagi thatyang sumdijumlahkan tosampai {{math|2''qt''}}, showingdan ini thatdiperlihatkan itbahwa isbilangannya perfectsempurna.<ref>{{citation|author=[[Euclid]]|title=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)|edition=2nd|publisher=Dover|year=1956|pages=421–426}}. See in particular Prop. IX.36.</ref>
OverSetelah aEuklides millenniummembuktikannya afterselama Euclidbertahun-tahun, [[Alhazen]] {{circa|1000menduga CE}}bahwa conjectured''setiap'' thatbilangan {{em|every}}sempurna evengenap perfectmerupakan numberbilangan is of the formberbentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} wheredengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} isbilangan primeprima, buttetapi hesayangnya wasia notbelum abledaat tomembuktikan provehasil this resulttersebut.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> ItHingga waspada notabad untilke-18, the 18th century,lebih overdari 2000 yearstahun aftersetelah EuclidEuklides,<ref>{{citation
| last1 = Pollack | first1 = Paul
| last2 = Shevelev | first2 = Vladimir
| year = 2012| arxiv = 1011.6160
| s2cid = 13607242
}}</ref> that [[Leonhard Euler]] provedmembuktikan that thebahwa formularumus {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} willakan yieldmenghasilkan allbilangan thesempurna even perfect numbersgenap.<ref name="stillwell" /><ref>{{citation|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|chapter=De numeris amicibilibus|trans-chapter=On amicable numbers|language=Latin|contribution-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/798/|title=Commentationes arithmeticae|volume=2|year=1849|pages=627–636}}. Originally read to the Berlin Academy on February 23, 1747, and published posthumously. See in particular section 8, p. 88.</ref> ThusJadi, therebukti istersebut amempunyai one-to-onekaitan relationshipantara betweenbilangan evensempurna perfectgenap numbersdengan andbilangan prima Mersenne, primes;yang eachmenyatakan Mersennemasing-masing primebilangan prima Mersenne generatesmenghasilkan onesebuah evenbilangan perfectsempurna numbergenap, anddan vicebegitupula versasebaliknya. AfterSetelah Euler's proofmembuktikannya, ofbanyak thematematikawan Euclid–Eulerlain theorem,telah othermenerbitkan mathematiciansbukti-bukti haveyang publishedberbeda, differentdi proofs,antaranya includingbukti [[Victor-Amédée Lebesgue]], [[Robert Daniel Carmichael]], [[Leonard Eugene Dickson]], John Knopfmacher, anddan Wayne L. McDaniel. Bukti Dickson's proof,khususnya insudah particular,umum hasdipakai beendalam commonly used inbuku textbookscetak.<ref>{{citation|last=Cohen|first=Graeme L.|date=March 1981|doi=10.2307/3617930|issue=431|journal=[[The Mathematical Gazette]]|jstor=3617930|pages=28–30|title=Even perfect numbers|volume=65}}</ref>
ThisTeorema theoremini wastercantum includeddalam insebuah asitus webyang listingmemuat ofdaftar thedari "top 100 mathematicalteorema matematika yang theoremsterkenal", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a [[Benchmark (computing)|benchmark]] set to test the power of different [[proof assistant]]s. {{as of|2021}}, the proof of the Euclid–Euler theorem had been formalized in 5 of the 10 proof assistants recorded by Wiedijk.<ref>{{citation|first=Freek|last=Wiedijk|url=https://www.cs.ru.nl/~freek/100/|title=Formalizing 100 Theorems|publisher=Radboud University Institute for Computing and Information Sciences|access-date=2021-07-10}}</ref>
== Proof ==
|
