Wikipedia

Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.420 suntingan
in use, kemungkinan akan ada perubahan setelah perbaikan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.420 suntingan
→Persamaan kuintik yang terpecahkan: pbjt; ubah indentation menjadi display block
Baris 1:
{{In use}}[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat [[titik kritis (matematika)|titik kritis]].]]
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], danserta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.▼
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk
 
Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].▼
:<math>g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>
 
Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:<math display="block">ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>▼
▲dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], dan <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.
 
▲Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].
 
▲Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>
Memecahkan persamaan kuintik dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan [[teorema Abel–Ruffini]].
 
Baris 20 ⟶ 16:
== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==
 
Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar., Ini termasukdan persamaan kuintiktersebut yangdidefinisikan ditentukan olehdengan polinomial yang [[polinomial tak tersederhanakan|dapat direduksitersederhanakan]], seperti {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x''<sup>4</sup> − ''x'' + 1 {{=}} (''x''<sup>2</sup> + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<sup>2</sup>}}. Misalnya,Sebagai sudah ditampilkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard formcontoh, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf</ref>persamaan that
 
:<math>x^5-x-r=0</math>▼
 
memiliki solusi dalam radikal jika dan hanya jika memiliki solusi integer atau '' r '' adalah salah satu dari ± 15, ± 22440, atau ± 2759640, dalam hal ini polinomnya dapat direduksi.
 
Karena penyelesaian persamaan kuintik yang dapat direduksi segera berkurang menjadi penyelesaian polinomial derajat yang lebih rendah, hanya persamaan kuintik tak tersederhanakan yang dipertimbangkan di sisa bagian ini, dan istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, ''' kuintik terpecahkan ''' adalah polinomial kuintik tak tereduksi yang akarnya dapat diekspresikan dalam bentuk akar..▼
 
▲:<math display="block">x^5-x-r=0</math>
Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan polinomial yang lebih umum pada derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Menerapkan teknik ini, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah setiap kuintik tertentu dapat dipecahkan.<ref>A. Cayley. ''Pada persamaan bantu baru dalam teori persamaan orde lima'', Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria ini adalah sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>▼
 
telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi bilangan bulat atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.
Diberikan persamaan
:<math> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math>
[[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan kuintik (yaitu, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan▼
 
▲Karena penyelesaianPenyelesaian persamaan kuintik yangtersederhanakan dapatdisederhanakan direduksisecara segeralangung berkurangagar menjadimembentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih rendahkecil, hanyasehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. yang dipertimbangkan di sisa bagian ini, dan istilahIstilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, ''' kuintikKuintik terpecahkan ''' ({{Lang-en|solvable quintic}}) adalah polinomial kuintik tak tereduksitersederhanakan yang akarnya dapat diekspresikan dalam bentuk akar..
:<math> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>,
 
▲Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial yang lebih umum padadengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. MenerapkanKetika menerapkan teknik initersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untukyang menentukan apakah setiapsebarang persamaan kuintik tertentuterselesaikan (dapat dipecahkandiselesaikan).<ref>A. Cayley. ''Pada persamaan bantu baru dalam teori persamaan orde lima'', Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria initersebut adalahmenjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>
dimana
 
▲Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan persamaan kuintik (yaitudengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
:<math>\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
q &= \frac{25a^2d-15abc+4b^3}{25a^3}\\
r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\
s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math>
 
Kedua persamaan kuintik dapatdi atas diselesaikanterselesaikan dengan akar jika dan hanya jika keduanyakedua persamaan tersebut dapat difaktorisasikandifaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial. {{math|''P''<sup>2</sup> − 1024''z''Δ}}, yang bernama '' resolventresolven Cayley '', memilikimempunyai akar rasional di {{mvar | z}}, didengan<math manadisplay="block">
{}P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4) - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4 + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq▼
</math>dan <math display="block">\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
</math>Hasil Cayley memungkinkan kitaseseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik dapattersebut dipecahkanterpecahkan. Jika demikian, menemukanmaka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkanmencari akar dalam istilahekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolventresolven Cayley.▼
 
Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR]</ref> describedmenjelaskan howcara tomenyelesaikan solvesuatu apersamaan solvablekuinitik quinticterselesaikan equation,tanpa withoutmenyediakan providingrumus anyang expliciteksplisit. formula;Rumus [[Danieltersebut Lazard]]ditulis wrotedalam outtiga ahalaman three-pageoleh formula[[Daniel (Lazard (2004))]].<!--▼
:<math>
P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4)
</math>
::<math>
▲{} - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4
</math>
::<math>
{} + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq
</math>
 
dan
 
:<math>\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2
</math>
::<math>
{} -1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2
</math>
::<math>
{} +2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
</math>
 
▲Hasil Cayley memungkinkan kita untuk menguji apakah kuintik dapat dipecahkan. Jika demikian, menemukan akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkan akar dalam istilah radikal yang melibatkan koefisien kuintik dan akar rasional dari resolvent Cayley.
 
▲Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR]</ref> described how to solve a solvable quintic equation, without providing an explicit formula; [[Daniel Lazard]] wrote out a three-page formula (Lazard (2004)).
<!--
===Quintics in Bring–Jerrard form===
 
Baris 210 ⟶ 177:
Analogously to [[cubic equation]]s, there are solvable quintics which have five real roots all of whose solutions in radicals involve roots of complex numbers. This is ''[[casus irreducibilis]]'' for the quintic, which is discussed in Dummit.<ref>David S. Dummit [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics]</ref>{{rp|p.17}} Indeed, if an irreducible quintic has all roots real, no root can be expressed purely in terms of real radicals (as is true for all polynomial degrees that are not powers of 2).
-->
 
== Di luar radikal ==
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Fungsi_kuintik"