Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) ce, displayblock |
|||
Baris 1:
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], serta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.
Baris 18:
Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan|tersederhanakan]], seperti {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x''<sup>4</sup> − ''x'' + 1 {{=}} (''x''<sup>2</sup> + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<sup>2</sup>}}. Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi bilangan bulat atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.
Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan.
▲Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' ({{Lang-en|solvable quintic}}) adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar..
Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan).<ref>A. Cayley. "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>
Baris 33 ⟶ 32:
</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.
Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR]</ref> menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan
===Quintics in Bring–Jerrard form===
Baris 176 ⟶ 175:
== Solusi selain dalam ekspresi akar ==
Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan real {{math|''a''}}. Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat|fungsi hipergeometrik diperumum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.<!--
=== Solving with Bring radicals ===
{{main article|Bring radical}}
Baris 217 ⟶ 215:
See [[Bring radical]] for details on these solutions and some related ones.
-->
Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi
Lebih tepatnya, lokasi
▲== Penerapan persamaan kuinitik dalam mekanika benda angkasa ==
▲Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi di mana massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.
▲Lebih tepatnya, lokasi ''L''<sub>2</sub> dan ''L''<sub>1</sub> adalah solusi untuk persamaan berikut, di mana gaya gravitasi dua objek bermassa terhadap objek ketiga (misalnya, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di ''L''<sub>2</sub> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] pada ''L''<sub>1</sub>) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:
: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>
Tanda ± mewakili masing-masing
Menggunakan Hukum Ketiga Kepler <math display="inline">\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:
: <math>a r^5 + b r^4 + c r^3 + d r^2 + e r + f = 0</math>
dengan <math>a = \pm (M_S + M_E)</math>
Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan {{math|1=''r'' = 1.501 x 10<sup>9</sup>
Jika massa dari objek yang lebih kecil (
: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_E}{3 M_S}}</math>
yang juga akan menghasilkan {{math|1=''r'' = 1.5 x 10<sup>9</sup>
== Lihat pula ==
| |||