|
[[Berkas:Infimum_illustration.svg|ka|jmpl|250x250px|Sebuah himpunanHimpunan <math>TP </math> dari bilangan real (lingkaranbulatan beronggakosong dan lingkaranbulatan berisi̠penuh), sebuah. himpunan bagian <math>S </math> padadari <math>TP </math> (lingkaranbulatan berisipenuh), dan infimum pada <math>S </math>. Perhatikan bahwa untuk terhingga,himpunan terurut total urutanatau himpunan yangterhingga, infimum dan supremumsupremumnya adalah sama.]]
[[Berkas:Supremum_illustration.svg|ka|jmpl|250x250px|Sebuah himpunanHimpunan <math>A</math> dari bilangan real (lingkaranbulatan berwarna biru), sebuah himpunan batas atas dari <math>A</math> (wajik merahberwarna dan lingkaran-lingkaranbulatan merah), dan paling terkecil batas atas sepertiyang itupaling terkecil, yaitu, supremum dari <math>A</math> (wajik berwarna merah).]]
Dalam [[matematika]], '''infimum''' (disingkat '''inf'''; jamak '''infima''') pada sebuah [[himpunan bagian]] <math>S </math> dari sebuah [[himpunan terurut parsial]] <math>TP </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terbesar]] dalam <math>TP </math>, yaituyang lebih kecil dari atau sama dengan untuk semuatiap-tiap anggota <math>S </math>, jika seperti sebuahsuatu anggota ada.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> KarenaBerdasarkan itupengertian tersebut, istilahinfimum disebut ''batas bawah terbesar'' (dalam bahasa Inggrisː ''{{Lang-en|greatest lower bound''}}), dan istilah itu umum digunakan.<ref name="BabyRudin" /> Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, ''GLB'supremum')'' himpunan bagian dari himpunan terurut parsial <math>P </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terkecil]] dalam <math>P </math> yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota <math>S </math>, jika terdapat anggotanya.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga biasadisebut digunakansebagai ''batas atas terkecil'' ({{Lang-en|least upper bound}}).<ref name="BabyRudin2">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref>
Infimum dalam arti yang tepat [[Dualitas (teori tatanan)|ganda]] ke konsep dari sebuahdan supremum . Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khususistimewa yang umum , yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis matematika]], dan termasukkhususnya dalam [[Integral Lebesgue|integrasi Lebesgue]]. NamunAkan tetapi, definisi umum tetap sahvalid dalam pengaturan [[teori order]] yang lebih abstrak ▼'''Supremum''' (disingkat '''sup''', jamak '''suprema''') dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dari sebuah himpunan terurut parsial <math>T</math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terkecil]] dalam <math>T</math> yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota <math>S </math>, jika seperti sebuah anggota ada.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Karena itu, supremum juga disebut sebagai ''batas atas terkecil'' (dalam bahasa Inggrisː ''least upper bound'' atau ''LUB'').<ref name="BabyRudin2">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref>
Komsep infimum dan supremum serupamirip denganseperti konsep [[Maksimum dan minimum|minimum ]] dan [[Maksimum dan minimum|maksimum]], tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitikkarakteristik spesial yang berbeda yang tidak memiliki ''minimum atau maksimum''. Sebagai contoh, [[bilangan real positif]] <math>\R^+</math> , (tidakhimpunan termasukyang mengecualikan 0 ), tidak memiliki sebuahsuatu minimum, karena setiapdengan diberikanmudahnya setiap anggota <math>\R^+</math> bisayang dengandiberikan mudahdapat dibagi menjadi dua bagian dalam sebuahsuatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di <math>\R^+</math>. Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif , dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisadapat digunakan sebagai sebuah batas bawah. ▼▲Infimum dalam arti yang tepat [[Dualitas (teori tatanan)|ganda]] ke konsep dari sebuah supremum. Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khusus yang umum yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis]], dan termasuk dalam [[Integral Lebesgue|integrasi Lebesgue]]. Namun, definisi umum tetap sah dalam pengaturan [[teori order]] yang lebih abstrak
▲Komsep infimum dan supremum serupa dengan [[Maksimum dan minimum|minimum]] dan [[Maksimum dan minimum|maksimum]], tetapi lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitik spesial yang berbeda yang tidak memiliki ''minimum atau maksimum''. Sebagai contoh, [[bilangan real positif]] <math>\R^+</math> (tidak termasuk 0) tidak memiliki sebuah minimum, karena setiap diberikan anggota <math>\R^+</math>bisa dengan mudah dibagi menjadi dua dalam sebuah bilangan lebih kecil daripada semua bilangan real positif dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisa digunakan sebagai sebuah batas bawah.
== Definisi formal ==
[[Berkas:Illustration_of_supremum.svg|jmpl|supremum = batas atas terkecil]]
''Batas bawah'' himpunan bagian <math>S </math> dari [[himpunan terurut parsial]] <math>(P, \leq)</math> merupakan suatu anggota <math>a</math> dari <math>P </math> sehingga <math>a \leq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>. Batas bawah <math>a</math> dari <math>S </math> disebut ''infimum'' <math>S </math> jika untuk semua batas bawah <math>y</math> dari <math>S </math> di <math>P</math>, maka <math>y \leq a</math>, dalam artian bahwa <math>a</math> lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.
Sebuah ''batas bawah'' dari sebuah himpunan <math>S </math> bagian sebagian berurutan <math>(P, \leq)</math> adalah sebuah anggota <math>a</math> dari <math>P </math> seperti
Dengan definisi yang serupa, ''batas atas'' himpunan bagian <math>S </math> dari himpunan terurut parsial <math>(P, \leq)</math> merupakan suatu anggota <math>b </math> dari <math>P</math> sehingga <math>b \geq x</math>, untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>. Batas atas <math>b </math> dari <math>S </math> disebut ''supremum'' dari <math>S </math> jika untuk semua batas atas <math>z</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, maka <math>z \geq b</math>, dalam artian bahwa <math>b </math> lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.
* <math>a \leq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>.
Sebuah batas bawah <math>a</math> dari <math>S </math> disebut sebuah ''infimum'' (atau ''pertemuan'') pada <math>S </math> jika
* jika semua batas bawah <math>y</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, <math>y \leq a</math> (<math>a</math> lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya).
Demikian pula, sebuah ''batas atas'' dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dari sebuah himpunan terurut parsial <math>(P, \leq)</math> adalah sebuah anggota <math>b </math> pada <math>P</math> seperti
* <math>b \geq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>.
Sebuah batas atas <math>b </math> pada <math>S </math> disebut sebuah ''supremum'' (atau ''batas atas terkecil'', atau ''sambungan'') pada <math>S </math> jika
* untuk semua batas atas <math>z</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, <math>z \geq b</math> (<math>b </math> kurang dari setiap batas atas lainnya).
== Keberadaan dan ketunggalan ==
Infima dan suprema tidak perlusepenuhnya harus ada. Keberadaan dari sebuah infimum dari sebuah himpunan terurut parsial <math>S </math> padadari <math>P</math> bisaakan gagal jika <math>S </math> tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan dari batas bawah tidak berisi sebuahsuatu anggota terbesar. Namun, jika sebuah infimum atau supremum ada, maka itubatasnya dikatakan tunggal.
Karena itu, himpunan terurut parsial yang infima tertentu dikenal sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah [[Kekisi (tatanan)|kekisi]] adalah sebuah himpunan terurut parsial yang semua himpunan ''tak kosong terhingga'' memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum, dan sebuah [[kekisi sempurna]] adalah sebuah himpunan terurut parsial yang ''semua'' himpunan bagian memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum. Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan terurut parsial yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada [[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat-sifat kelengkapan]]. ▼
▲KarenaKeberadaan itu,infimum dalam himpunan terurut parsial yang infima tertentu dikenalmenjadi sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah [[Kekisi (tatanan)|kekisi]] adalah sebuahsuatu himpunan terurut parsial yangdengan semua himpunan bagian ''tak kosong terhingga'' memilikidi sebuahdalamnya memiliki supremum dan sebuah infimum, dan sebuahserta [[kekisi sempurna]] adalah sebuahsuatu himpunan terurut parsial yangdengan ''semua'' himpunan bagian di dalamnya memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum . Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan terurut parsial yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada [[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat-sifat kelengkapan]].
Jika supremum dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> ada, itu tunggal, Jika <math>S </math> berisi sebuah anggota terbesar, maka anggota itu adalah supremum, jika tidak, supremum bukan milik <math>S </math> (atau tidak ada). Begitu juga, jika infimum ada, itu tunggal. jika <math>S </math> berisi sebuah anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, jika tidak, infimum bukan miliki <math>S </math> (atau tidak ada). ▼
▲Jika supremum dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> ada, itubatasnya dikatakan tunggal, Jika <math>S </math> berisi sebuahsuatu anggota terbesar, maka anggota itu adalah supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik <math>S </math> ( ataualias tidak ada). BegituBegitupula juga,untuk jikainfimum: Jika infimum ada, itubatasnya dikatakan tunggal. jikaJika <math>S </math> berisi sebuahsuatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki <math>S </math> ( ataualias tidak ada).
== Hubungan anggota maksimum dan minimum == ▼Infimum pada sebuah himpunan bagian <math>S</math> dari sebuah himpunan terurut parsial <math>P </math>, tidak perlu milik <math>S</math>. Jika benar, itu adalah [[Anggota maksimal|minimum atau anggota terkecil]] <math>S</math>. Demikian pula, jika supremum <math>S</math> miliki <math>S</math>, itu adalah [[Anggota maksimum|maksimum atau anggota terbesar]] <math>S</math>. ▼
▲== HubunganKaitannya dengan anggota maksimum dan minimum ==
Sebagai contoh, tinjau himpunan bilangan real negatif (termasuk nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota dari himpunan, masih ada lagi, anggota, lebih besar. Misalnya, untuk setiap bilangan real negatif <math>x </math>, masih ada bilangan real negatif <math display="inline">\frac{x}{2} </math>, yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti sebuah batas atas pada himpunan ini. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki sebuah supremum tetapi bukan anggota terbesar. ▼▲Infimum pada sebuah himpunan bagian <math>S</math> dari sebuah himpunan terurut parsial <math>P </math> , asumsi kalau ada, tidak perlu milik <math>S</math>. Jika hal tersebut benar, itumaka adalahdapat dikatakan mempunyai [[Anggota maksimal| minimum atau anggota terkecil]] <math>S</math>. Demikian pula, jika supremum <math>S</math> milikimilik <math>S</math>, itumaka batasnya adalah [[Anggota maksimum| maksimum atau anggota terbesar]] <math>S</math>.
▲Sebagai contoh, tinjaumisalkan ada himpunan bilangan real negatif ( termasuktak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota dari himpunan, masih ada lagi, anggota , lain yang lebih besar. MisalnyaKatakanlah, untuk setiap bilangan real negatif <math>x </math>, masih ada bilangan real negatif <math display="inline">\frac{x}{2} </math> , yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti sebuahmerupakan suatu batas atas pada himpunan initersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki sebuahsuatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.
Namun, definisi anggota maksimal dan minimum lebih umum. Khususnya, sebuah himpunan bisa memiliki banyak anggota-anggota maksimal dan minimal, sedangkan infima dan suprema adalah tunggal.
SedangkanNamun, definisi [[anggota maksimamaksimum dan mimimaminimum]] adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus menjadimerupakan anggota dari himpunan bagian yang sedang dipertimbangkandiketahui, sedangkan infimum dan supremum dari sebuah himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.
=== Batas atas minimal ===
Akhirnya, sebuah himpunan terurut parsial mungkin memiliki batas atas minimal tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimal adalah batas atas itu untuk yang tidak ada anggota yang sangat kecil itu juga adalah sebuah batas atas. Ini tidak mengatakan bahwa setiap batas atas minimal lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, itu hanya tidak lebih besar. Perbedaannya antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika diberikan urutan [[Himpunan benar-benar berurutan|total]]. Dalam sebuahsuatu himpunan benar-benar berurutan, seperti bilangan real, konsepnya sama.
Sebagai contoh, misalkan <math>S</math> adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga dan tinjau himpunan sebagian berurutan diamati dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari <math>S</math> bersama-sama dengan himpunan [[bilangan bulat]] <math>\Z</math> dan himpunan bilangan real positif <math>\R ^+</math>, diurutkan dari penyertaan himpunan bagian seperti di atas. Maka jelaslah <math>\Z</math> dan <math>\R ^+</math> lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Namun, baik <math>\R ^+</math>lebih kecil dari <math>\Z</math> juga bukan sebaliknyaː kedua himpunan adalah batas atas minimal tetapi tidak ada yang supremum.
=== Sifat batas paling atas ===
''Sifat batas paling atas'' adalah sebuahsuatu contoh dari sifat-[[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat kelengkapan]] tersebut di atas yang khas untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut ''kelengkapan Dedekind''.
Jika sebuah himpunan berurutan <math>S</math> memiliki sifatnya bahwa setiap himpunan bagian tak kosong <math>S</math> memiliki sebuah batas atas juga memiliki sebuah batas paling atas, maka <math>S</math> dikatakan memiliki sifat batas paling atas. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan <math>\R</math> dari semua bilangan real memiliki sifat batas paling atas. Demikian pula, himpunan <math>\Z </math> dari bilangan bulat memiliki sifat batas paling atas, jika <math>S </math> adalah sebuah himpunan bagian tak kosong <math>\Z </math> dan ada beberapa bilangan <math>n</math> sehingga setiap anggota <math>s </math> pada <math>S </math> kurang dari atau sama dengan <math>n</math>, maka terdapat sebuah batas paling atas <math>u </math> untuk <math>S </math>, sebuah bilangan bulat bahwa sebuah batas atas untuk <math>S </math> dan kurang dari atau sama dengan untuk setiap batas atas lainnya untuk <math>S </math>. Sebuah himpunan [[urutan rapi]] juga memiliki sifat batas paling atas, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki sebuah batas paling atasː minimum dari seluruh himpunan.
| 