Wikipedia

Frustum: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.420 suntingan
→Rumus frustum kerucut: masih belum selesai
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.420 suntingan
→Volume: selesai, dikit lagi
Baris 11:
| properties = cembung
}}
Dalam [[geometri]], '''frustum''' adalah suatu bagian dari [[bangun ruang]] seperti [[kerucut]] atau [[limas]], yang terletak di antara dua [[Bidang (matematika)|bidang]] [[sejajar]] yang memotongnya. Dalam kasus limas, [[Muka (geometri)|muka]] [[Alas (geometri)|alas]] berupa [[poligon]], dan muka [[Sisi (geometri)|sisi]] berupa [[trapesium]]. '''Frustum siku-siku''' adalah [[limas siku-siku]] atau kerucut siku-siku [[Pemenggalan (geometri)|terpenggal]], yang tegak lurus dengan garis sumbunya.<ref>William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, phlm. 67.</ref> Pemenggalan bangunan tersebut yang bukan siku-siku disebut '''frustum bukan siku-siku'''.
 
== Rumus ==
Baris 17:
=== Volume ===
Rumus [[volume]] frustum persegi piramida diperkenalkan oleh [[matematika Mesir kuno]], yang dikenal sebagai [[Moskow Matematika Papirus]]. yang ditulis pada [[Dinasti ke-13 Mesir|dinasti ke-13]] (sekitar 1850 SM):<math display="block">V = \frac{h}{3} (a^2 + a b +b^2).</math>dengan <math>a</math> dan <math>b</math> masing-masing menyatakan panjang [[Alas (geometri)|alas]] dan panjang sisi di atas, serta <math>h</math> menyatakan tinggi. Orang Mesir mengetahui rumus yang tepat untuk volume piramida persegi penggal, tetapi belum ada bukti dari persamaan tersebut dalam papirus Moskow.
[[Berkas:Frustum_with_symbols.svg|al=Pyramidal frustum|jmpl|224x224px|Frustum limas]]
[[Volume]] frustum [[kerucut]] atau [[limas]] merupakan volume bangun ruang sebelum mengiris bagian puncaknya, yang kemudian dikurangi volume bagian puncak:<math display="block">V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3},</math>dengan <math>B_1</math> menyatakan luas alas, dan <math>B_2</math> menyatakan luas sisi di bagian atas frustum; serta <math>h_1</math> menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke alas, dan <math>h_2</math> menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke sisi di bagian atas frustum. Dengan memisalkan bahwa<math display="block">\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha,</math>maka rumus volume dapat dinyatakan sebagai sepertiga hasil kali kesebandingan tersebut, <math>\alpha</math>, dan menghasilkan sepertiga selisih kubik dari <math>h_1</math> dan <math>h_2</math><math display="block">V = \frac{t_1 \alpha t_1^2 - t_2 \alpha t_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(t_1^3 - t_2^3).</math>Dengan menggunakan identitas <math>a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)</math>, maka diperoleh <math display="block">V = (h_1 - h_2)\alpha \frac{(t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2)}{3},</math>dengan <math>h = h_1 - h_2</math> menyatakan tinggi frustum. Kemudian, dengan mendistribusikan <math>\alpha</math> dan mensubstitusikan dari definisinya, [[rata-rata Heron]] dari luas <math>B_1</math> dan <math>B_2</math> akan memberikan rumus volume frustum lainnya, yaitu:<math display="block">V = \frac{t}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2).</math>
 
[[VolumeHeron dari Aleksandria]] adalah seorang matematikawan yang disematkan dengan penemuannya akan rumus volume frustum [[kerucut]]ini. atauDengan menggunakan rumus tersebut, Heron menemukan [[limassatuan imajiner]], merupakanakar volumekuadrat bangundari ruangnegatif sebelumsatu.<ref>Nahin, mengirisPaul. bagian''An puncaknya,Imaginary yangTale: kemudianThe dikurangistory volumeof bagian{{sqrt|−1}}.'' puncakPrinceton University Press. 1998</ref>[[Berkas:CroppedCone.svg|jmpl|Frustum kerucut]]Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar dirumuskan sebagai<math display="block">V = \frac{h_1\pi B_1 - h_2 B_2t}{3}(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2),</math>dengan <math>B_1\pi</math> adalah konstanta yang bernilai 3,14159265...; serta <math>r_1</math> menyatakan luas[[jari-jari]] alas, dan <math>B_2r_2</math> menyatakan luasjari-jari sisi di bagian atas frustum;. sertaVolume frustum piramida yang alasnya merupakan [[poligon]] (segi-<math>h_1n</math>menyatakan) garisberaturan tinggidirumuskan yangsebagai<math tegakdisplay="block">V= lurus\frac{nt}{12} dari titik(a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot puncak ke alas\frac{\pi}{n}, dan</math>dengan <math>h_2a_1</math> menyatakan garispanjang tinggialas yangdan tegak<math>a_2</math> lurus dari titik puncakmenyatakan kepanjang sisi di bagian atas frustum.
 
Mengingat bahwa
:<math>\frac{B_1}{t_1^2}=\frac{B_2}{t_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{t_1 t_2} = \alpha</math>,
rumus untuk volume dapat dinyatakan sebagai produk proporsionalitas ini α/3 dan perbedaan kubus dengan ketinggian t1 dan t2 saja.
 
:<math>V = \frac{t_1 \alpha t_1^2 - t_2 \alpha t_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(t_1^3 - t_2^3)</math>
 
Dengan memfaktorkan perbedaan dua kubus <math>(a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2))</math> seseorang mendapat t1-t2 = t, ketinggian frustum, dan <math>\alpha \times \frac{(t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2)}{3}</math>.
 
Mendistribusikan α dan menggantikannya dari definisinya, rata Heronian dari daerah B1 dan B2 diperoleh. Karena itu, formula alternatifnya
 
:<math>V = \frac{t}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)</math>.
 
Bangau Aleksandria terkenal karena menurunkan formula ini dan dengan itu berhadapan dengan bilangan imajiner, akar kuadrat dari bilangan negatif.
 
Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar adalah
:<math>V = \frac{\pi t}{3}(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2)</math>
di mana [[π]] adalah 3.14159265 ..., dan r1, r2 adalah [[jari - jari]] kedua pangkalan.
 
Volume dari suatu piramidal frustum yang basisnya adalah n- sisi [volume polihedron sisi-n] adalah poligon reguler
:<math>V= \frac{nt}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}</math>
 
=== Luas selimut ===
[[Berkas:CroppedCone.svg|jmpl|Frustum kerucut]]
[[Berkas:Tronco cono 3D.stl|jmpl|Model 3D dari frustum melingkar.]]
 
Untuk frustum berbentuk kerucut melingkar kanan
:<math>\begin{align}L = \pi (r_1+r_2)s = \pi (r_1+r_2) \sqrt{(r_1-r_2)^2+t^2}\end{align}</math>
 
=== Luas permukaan ===
:<math>L = L_{ab} + L_{ab} + L_s</math>
Baris 60 ⟶ 33:
== Lihat pula ==
* [[Frustum bola]]
* [[Frustum limas]]
* [[Frustum polihedron]]
 
== Referensi ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Frustum"