Logaritma: Perbedaan antara revisi

 

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) disebut sebagai [[logaritma umum]], yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok [[E (konstanta matematika)|bilangan {{Math|''e''}}]] ({{math|''b'' ≈ 2.718}}) disebut sebagai [[logaritma alami]], yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan [[integral]] dan [[turunan]]. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) disebut sebagai [[logaritma biner]], yang seringkali dipakai dalam [[ilmu komputer]].

 

== Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah ==

Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya [[astronomi]]. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam [[Ilmu ukur wilayah|survei]], [[navigasi benda langit]], dan cabang lainnya. [[Pierre-Simon Laplace]] menyebut logaritma sebagai

 

=== Mistar hitung ===

Penerapan penting lainnya adalah [[mistar hitung]], sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, [[mistar Gunter]], ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh [[William Oughtred]] untuk menciptakan sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain, yaitu mistar hitung. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritmanya. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

Sebagai contoh, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bagian bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di bagian atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.<ref name="ReferenceA2">{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|at=bagian 1, 13}}</ref>

 

 

=== Grafik fungsi logaritma ===

Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi {{math|^''b''log}} invers terhadap fungsi eksponensial <math>x\mapsto b^x</math>. Karena itu, [[Grafik fungsi|grafiknya]] berkorespondensi dengan satu sama lain saat menukar koordinat-{{mvar|x}} dan koordinat-{{mvar|y}} (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal {{Math|1=''x'' = ''y''}}), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}^''t'')}} pada grafik dari {{Mvar|f}} menghasilkan sebuah titik {{math|1=(''u'', ''t'' = ^''b''log&thinsp;''u'')}} pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, {{math|^''b''log&thinsp;(''x'')}} [[Limit barisan|divergen menuju takhingga]] (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika {{mvar|x}} naik menuju takhingga, asalkan {{mvar|b}} lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, {{math|^''b''log(''x'')}} merupakan [[fungsi menaik]]. Sedangkan untuk kasus {{math|''b'' < 1}}, {{math|^''b''log&thinsp;(''x'')}} cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika {{mvar|x}} mendekati nol, {{math|^''b''log&thinsp;''x''}} menuju ke negatif takhingga untuk {{math|''b'' > 1}} dan menuju ke plus takhingga untuk {{math|''b'' < 1}}.

 

=== Turunan dan antiturunan ===

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya.<ref name="LangIII.3" /> Jadi, ketika {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}^''x''}} adalah fungsi kontinu dan [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]], maka {{math|^''b''log&thinsp;''y''}} fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika [[turunan]] dari {{math|''f''(''x'')}} menghitung nilai {{math|ln(''b'') ''b''^''x''}} melalui sifat-sifat [[fungsi eksponensial]], [[aturan rantai]] menyiratkan bahwa turunan dari {{math|^''b''log&thinsp;''x''}} dirumuskan sebagai <ref name="LangIV.2" /><ref>{{citation|work=Wolfram Alpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=15 Maret 2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>

 

 

=== Representasi integral mengenai fungsi logaritma ===

[[Logaritma alami]] dari {{Mvar|t}} dapat didefinisikan sebagai [[integral tentu]]:

 

 

Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel {{Math|''w''}} menjadi {{Math|{{sfrac|1=''x''|2=''t''}}}}. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor {{Mvar|t}} dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac|1=1|2=''x''}}}} lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} dengan interval dari {{Mvar|t}} hingga {{Mvar|tu}} sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga {{Mvar|u}}. Hal ini membenarkan persamaan &nbsp;(2) melalui bukti geometri lainnya.

Rumus pangkat {{math|1=ln(''t''^''r'') = ''r'' ln(''t'')}} dapat real dalam cara yang serupa:

 

 

== Perhitungan ==

Logaritma merupakan alat hitung yang mudah pada beberapa kasus, seperti {{math|1=¹⁰log&thinsp;1000 = 3}}. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui [[deret kuasa]] atau [[rata-rata aritmetika–geometrik]], atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan.<ref>{{Citation|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, bagian 4.2.2 (hlm. 72) dan 5.5.2 (hlm. 95)</ref><ref>{{Citation|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal}}, bagian 6.3, hlm.&nbsp;105–11</ref> [[Metode Newton]], sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, bagian 1 for an overview</ref> Dengan melihat tabel logaritma, metode yang mirip dengan [[CORDIC]] dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan [[Geseran aritmetika|geseran bit]].<ref>{{Citation|url=https://semanticscholar.org/paper/b3741168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|s2cid=19387286}}</ref><ref>{{Citation|last=Kahan|first=W.|author-link=William Kahan|title=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|date=20 May 2001}}</ref> Terlebih lagi, [[Logaritma biner#Algoritma|algoritma dari logaritma biner]] menghitung {{math|lb(''x'')}} [[Rekursi|secara berulang]] berdasarkan penguadratan {{mvar|x}} yang berulang dan menggunakan ekspresi

 

 

==== Deret Taylor ====

Untuk setiap bilangan {{mvar|z}} yang memenuhi sifat {{math|0 < ''z'' ≤ 2}}, maka berlaku rumus:{{refn|Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks {{mvar|z}} yang memenuhi {{math|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=nb}}<ref name="AbramowitzStegunp.68">{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972|nb=yes|loc=hlm. 68}}</ref>

 

=== Penerapannya dalam skala logaritmik ===

{{Main|Skala logaritmik}}

 

Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan [[skala magnitudo momen]] atau [[skala Richter|skala magnitudo Ritcher]]. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32&nbsp;kali {{math|(10^1,5)}} dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000&nbsp;kali{{math|(10³)}} energi berkekuatan 4,0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, bagian 4.4.</ref> Skala logaritmik juga dipakai dalam [[Magnitudo semu|magnitudo kentara]] untuk mengukur kecerahan bintang.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, bagian 8.3, hlm.&nbsp;231</ref> Dalam [[kimia]], negatif dari logaritma desimal, yang disebut sebagai '''{{vanchor|kologaritma}}''' desimal, ditunjukkan dengan huruf "p".<ref name="Jens">{{cite journal|author=Nørby, Jens|year=2000|title=The origin and the meaning of the little p in pH|journal=Trends in Biochemical Sciences|volume=25|issue=1|pages=36–37|doi=10.1016/S0968-0004(99)01517-0|pmid=10637613}}</ref> Sebagai contoh, [[pH]] merupakan kologaritma desimal dari [[Aktivitas termodinamika|keaktifan]] dari [[ion]] berbentuk [[hidrogen]] {{chem|H|+|}} yang terbentuk dari air, [[hidronium]].<ref>{{Citation|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC|doi-access=free}}</ref> Keaktifan dari ion hidronium dalam air yang netral bernilai 10⁻⁷&nbsp;[[Molaritas|mol·L⁻¹]], sehingga nilai pH adalah 7. Contoh lainnya, nilai pH dari asam cuka biasanya sekitar 3. Perbedaan nilai sebesar 4 sesuai dengan rasio 10⁴ berdasarkan aktivitasnya, yaitu nilai dari aktivitas ion hidronium cuka sekitar 10⁻³ mol·L⁻¹.

Logaritma dipakai untuk menghitung [[pendugaan kemungkinan maksimum|estimasi kemungkinan maksimum]] dari [[model statistika]] parametrik. [[Fungsi kemungkinan]] pada model tersebut bergantung setidaknya satu [[model parametrik|parameter]] yang harus diestimasi. Nilai maksimum dari fungsi kemungkinan muncul di nilai parameter yang sama sebagai nilai maksimum logaritma kemungkinan (atau disebut ''log&nbsp;likelihood''), karena logaritma merupakan fungsi menaik. ''Log-likelihood'' merupakan teknik yang memaksimumkan fungsi dengan mudah, khususnya untuk kemungkinan yang dikali mengenai variabel acak [[Independen (peluang)|independen]].<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, bagian 11.3</ref>

 

 

=== Penerapannya dalam kompleksitas perhitungan ===

Cabang dalam [[ilmu komputer]] yang mempelajari [[kompleksitas waktu|performa]] dari suatu [[algoritma]] dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut [[analisis algoritma]].<ref name="Wegener">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, hlm. 1–2</ref> Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan [[Divide and Conquer|membagi suatu masalah]] menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, hlm.&nbsp;143</ref>

 

 

Suatu fungsi&nbsp;{{math|''f''(''x'')}} dikatakan [[pertumbuhan logaritmik|bertumbuh secara logaritmik]] jika {{math|''f''(''x'')}} (setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari {{mvar|x}}, namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis.<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, bab 19, hlm.&nbsp;298</ref> Sebagai contoh, setiap [[bilangan asli]]&nbsp;{{mvar|N}} dapat direpresentasikan dalam [[sistem bilangan biner|bentuk bilangan biner]] yang tidak lebih dari {{math|²log&thinsp;''N'' + 1}}&nbsp;[[bit]]. Dengan kata lain, jumlah [[Memori (komputer)|memori]] diperlukan untuk menyimpan {{mvar|N}} pertumbuhan secara logaritmik dengan {{mvar|N}}.

 

=== Penerapannya dalam entropi dan ketidakteraturan ===

 

[[Entropi]] secara umum adalah ukuran dari ketidakteraturan dari suatu sistem. Dalam [[termodinamika statistik]], sebuah entropi, disimbolkan dengan {{Math|''S''}}, dari sebuah sistem, didefinisikan dengan:

 

=== Penerapannya dalam bangunan fraktal ===

Logaritma muncul dalam definiisi [[Dimensi fraktal|dimensi]] [[fraktal]].<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Fraktal merupakan benda-benda geometri yang menyerupai dirinya, dalam artian bahwa benda geometri tersebut mereproduksi dirinya lebih kecil, penjelasan kasarnya, di seluruh strukturnya. Contohnya seperti [[segitiga Sierpiński]], dengan [[dimensi Hausdorff]]<nowiki/>nya adalah {{math|{{sfrac|1=ln(3)|2=ln(2)}} ≈ 1,58}}, dapat diliputi dengan tiga salinan dirinya, masing-masing sisinya dibagi menjadi setengah dari panjang awalnya. Adapula gagasan dimensi fraktal berdasarkan logaritma lainnya diperoleh dengan [[Dimensi menghitung kotak|menghitung jumlah kotak]] yang diperlukan untuk meliputi frakal dalam himpunan.

 

: <math>e^a=z</math>

 

 

: <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

 

: <math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> untuk bilangan bulat sembarang&nbsp;{{mvar|k}}.

 

Dengan mengambil {{mvar|k}} sehingga {{Math|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka {{math|''a''_''k''}} disebut ''nilai prinsip'' dari logaritma, dinotasikan sebagai {{math|Log(''z'')}}. Argumen prinsip setiap bilangan real positif &nbsp;{{mvar|x}} bernilai 0, jadi {{math|Log(''x'')}} adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas [[Eksponensiasi#Kegagalan identitas perpangkatan dan logaritma|tidak memberikan perumuman]] terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks.<ref>{{Citation|last1=Wilde|first1=Ivan Francis|title=Lecture notes on complex analysis|publisher=Imperial College Press|location=London|isbn=978-1-86094-642-4|year=2006|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, teorema 6.1.</ref>

 

 

=== Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya ===

Berdasarkan sudut pandang [[teori grup]], identitas {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} menyatakan [[isomorfisme grup]] antara bilangan [[Bilangan riil|riil]] positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup.<ref>{{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, bagian V.4.1</ref> Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, [[ukuran Haar]] ([[ukuran Lebesgue]])&nbsp;{{math|''dx''}} pada riil berpadanan dengan ukuran Haar&nbsp;{{math|{{sfrac|1=''dx''|2=''x''}}}} pada bilangan real positif.<ref>{{Citation|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|author-link=Rouben V. Ambartzumian|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url-access=registration|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, bagian 1.4</ref> Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, namun juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk [[semigelanggang]], yang disebut sebagai [[Semigelanggang#Probabilitas semigelanggang|semigelanggang probabilitas]], bahkan membentuk [[semigelanggang]]. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan [[isomorfisme]] semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan [[semigelanggang logaritma]].

 

 

Selain itu, terdapat [[polilogaritma]], sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai