Revisi per 13 Mei 2021 18.18 sunting Klasüo (bicara \| kontrib) 1.507 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler ← Revisi sebelumnya		Revisi per 3 Desember 2022 10.57 sunting balikkan Ariyanto (bicara \| kontrib) Pengurus 67.091 suntingan k Bersih-bersih (via JWB) Revisi selanjutnya →
Baris 29: ;Asosiatif: Untuk semua ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''G'' yang menggunakan (''a'' ⋅ ''b'') ⋅ ''c'' = ''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''c''). ;Elemen identitas: Elemen ''e'' dalam ''G'', maka untuk setiap ''a'' dalam '' G '' yang menggunakan {{nowrap\|1=''e'' ⋅ ''a'' = ''a''}} dan {{nowrap\|1=''a'' ⋅ ''e'' = ''a''}}. Elemen unik ([[elemen identitas unik\|lihat di bawah]]) disebut ''elemen identitas'' dari grup. ;Elemen invers: Untuk setiap ''a'' dalam ''G'' adalah elemen ''b'' dalam ''G'' sedemikian rupa maka {{nowrap\|1=''a'' ⋅ ''b'' = ''e''}} and {{nowrap\|1=''b'' ⋅ ''a'' = ''e''}}, ~~dimana~~di mana ''e'' adalah elemen identitas. Untuk setiap ''a'', elemen ''b'' unik ([[#Keunikan invers\|lihat di bawah]]); disebut sebagai ''invers'' dari ''a'' dan biasanya dilambangkan ''a''<sup>−1</sup>. === Notasi dan terminologi === Baris 44: Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa {{math\|1=''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a''}} untuk semua elemen {{mvar\|a}} dan {{mvar\|b}} dalam {{mvar\|G}}. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan [[komutatif]], dan grup tersebut disebut [[grup abelian]]. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian. Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup ~~dimana~~di mana elemennya [[fungsi (matematika)\|fungsi]], operasi sering kali digunakan dalam [[komposisi fungsi]] <math>f\circ g</math>; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan {{math\|id}}. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup [[transformasi geometris]], grup [[simetri (matematika)\|simetri]], [[grup permutasi]], dan [[grup automorfisme]], simbol <math>\circ</math> dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui. === Definisi alternatif === Baris 143: Semua simetri memiliki ''kebalikan'': {{math\|is}}, pantulan {{math\|''f''<sub>h</sub>}}, {{math\|''f''<sub>v</sub>}}, {{math\|''f''<sub>d</sub>}}, {{math\|''f''<sub>c</sub>}} dan rotasi 180° {{math\|r{{sub\|2}}}} adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi {{math\|''r''<sub>3</sub>}} dan {{math\|''r''<sub>1</sub>}} adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja. Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, ~~dimana~~di mana urutan operasinya tidak relevan, {{math\|''D''<sub>4</sub>}}, misalnya <math>f_\mathrm h\circ r_1=f_\mathrm c</math> but <math>r_1\circ f_\mathrm h=f_\mathrm d</math> Dengan kata lain, {{math\|''D''<sub>4</sub>}} bukan abelian. == Sejarah == Baris 168: Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam ''teori grup elementer''.<ref>{{Harvard citations\|last = Ledermann\|year = 1953\|loc = §1.2, pp. 4–5\|nb = yes}}</ref> Sebagai contoh, aplikasi [[Induksi matematika\|berulang]] dari aksioma asosiatif menunjukkan bahwa ketidakjelasan dari :''a'' ⋅ ''b'' ⋅ ''c'' = (''a'' ⋅ ''b'') ⋅ ''c'' = ''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''c'') menggeneralisasi lebih dari tiga faktor. Karena ini menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan ~~dimana~~di mana saja dalam serangkaian istilah tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.<ref>{{Harvard citations\|nb = yes\|last = Ledermann\|year = 1973\|loc = §I.1, p. 3}}</ref> Aksioma dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan dari [[identitas kiri]] dan [[elemen invers kiri\|invers kiri]]. Keduanya dapat ditampilkan sebagai dua sisi, maka definisi yang dihasilkan setara dengan definisi di atas.<ref>{{Harvard citations\|nb = yes\|last = Lang\|year = 2002\|loc = §I.2, p. 7}}</ref> Baris 277: * Setiap elemen mempunyai hanya satu invers. * Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup ''a'' dan ''b'' dari grup <math>G</math>, hanya ada satu solusi ''x'' dalam <math>G</math> terhadap persamaan ''x'' * ''a'' = ''b'' dan hanya satu solusi ''y'' dalam <math>G</math> untuk persamaan ''a'' * ''y'' = ''b''. * Ungkapan ''a<sub>1</sub>'' * ''a<sub>2</sub> * ... * ''a<sub>n</sub>'' tidak ambigu karena hasilnya akan sama ~~dimana~~di mana saja kita menempatkan tanda kurung. * Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>.

Grup (matematika): Perbedaan antara revisi