Revisi per 10 Februari 2021 18.00 sunting InternetArchiveBot (bicara \| kontrib) Bot 686.986 suntingan Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20210209)) #IABot (v2.0.8) (GreenC bot ← Revisi sebelumnya		Revisi per 6 Desember 2022 13.01 sunting balikkan Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.176 suntingan →‎Generalisasi: pbtj Tag: VisualEditor Revisi selanjutnya →
Baris 4: == Versi standar == Bila sebuah fungsi [[bilangan riil\|riil]] {{Math\|''f''}} [[fungsi kontinu\|kontinu]] pada selang tertutup {{Math\|[''a'',~~ ~~ ''b'']}}, [[turunan\|terdiferensialkan]] pada selang terbuka {{Math\|(''a'',~~ ~~ ''b'')}}, dan {{Math\|1=''ƒf''(''a'')~~ ~~ = ''ƒf''(''b'')}}, maka ada bilangan {{Math\|''c''}} dalam selang terbuka {{Math\|(''a'',~~ ~~ ''b'') }}sedemikian sehingga :<math>f'(c) = 0.\,</math> Versi ~~Teorema~~teorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan [[teorema nilai purata]], yang merupakan kasus umum ~~daripada~~dari teorema Rolle. == ~~Generalisasi~~Perumuman == Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math\|''f''}} di selang tertutup {{Math\|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math\|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math\|''x''}} di selang terbuka {{Math\|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math\|''c''}} pada selang terbuka {{Math\|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math\|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''{{Math\|''c''}}''. Jadi turunan {{Math\|''f''}} ada pada {{Math\|''c''}} dan sama dengan nol. ~~Contoh berikut mengilustrasikan generalisasi daripada teorema Rolle:~~ # Bila ''{{Math\|''f''}}'' adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada ~~pada~~di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik\|menaik secara monoton]]:<ref>▼ ~~Perhatikan fungsi riil, kontinu dalam selang tertutup [''a'', ''b''] dengan ''f''(''a'') = ''f''(''b''). Bila untuk setiap ''x'' dalam selang terbuka (''a'',''b'') limit kanan~~ ~~:<math>f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>~~ ~~dan limit kiri~~ ~~:<math>f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>~~ ~~ada pada garis bilangan riil yang diperluas [−∞,∞], maka ada suatu bilangan ''c'' pada selang terbuka (''a'',''b'') sehingga salah satu dari dua limit~~ ~~:<math>f'(c+)\quad\text{dan}\quad f'(c-)</math>~~ adalah ≥ 0 dan yang lainnya adalah ≤ 0 (pada garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''x'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''c''. Jadi turunan ''f'' ada pada ''c'' dan sama dengan nol. ~~=== Komentar ===~~ ▲# Bila ''f'' adalah cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada pada setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil ~~# Versi yang digeneralisasi ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan searah naik monoton:~~ ~~<ref>~~ {{cite book \|last = Artin Baris 41 ⟶ 25: \|publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]] \|pages = [https://archive.org/details/gammafunction00arti_501/page/n9 3]–4 }} ::</ref><math display="block">f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-)~~,\qquad~~</math>dengan <math>x < y.</math>.▼ ~~</ref>~~ ▲::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math> == Contoh == ===Contoh pertama=== [[Berkas:semicircle.svg\|thumb\|300px\|~~Sebuah~~ '''~~setengah~~Setengah lingkaran''' dengan radius {{mvar\|r}}.]] Untuk radius angka {{math\|''r'' > 0}}, pertimbangkan dengan fungsi:

Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi