Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi

Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil {{Math|''f''}} di selang tertutup {{Math|[''a'', ''b'']}} dengan {{Math|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Bila, untuk setiap {{Math|''x''}} di selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}}, dengan limit kanan<math display="block">f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>dan limit kiri<math display="block">f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas <math>[-\infty,\infty]</math>, maka ada suatu bilangan {{Math|''c''}} pada selang terbuka {{Math|(''a'', ''b'')}} sehingga salah satu dari dua limit <math>f'(c+)</math> dan <math>f'(c-)</math>lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''{{Math|''x''}}'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''{{Math|''c''}}''. Jadi turunan {{Math|''f''}} ada pada {{Math|''c''}} dan sama dengan nol.

Bila ''{{Math|''f''}}'' adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak [[Fungsi menaik|menaik secara monoton]]:<ref>