Wikipedia

Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
→Bukti: pbtj
Baris 27:
Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan <math>W, X, Y, Z </math> menyatakan bilangan bulat yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Maka, probabilitas mengatakan bahwa <math>W </math> adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math>, dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math><math display="block">\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.{{Butuh rujukan}}
 
== BuktiPembuktian ==
{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan bentukanpembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap kubusbilangan kubik dalam jumlahpenjumlahan menjadi satusuatu himpunan dari bilangan ganjil berturut-turutyang berurutan. DiaWheatstone mulaimemulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan segitiga kuadrat membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:
 
: <math>n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{\text{bilangan ganjil berurutan }n}.</math>
 
Identitas itu terkait dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> dengan cara berikut:
 
: <math>n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1),</math>
 
dan demikian penjumlahan membentuk <math>n^3 </math> mulai setelah mereka membentuk semua nilai sebelumnya <math>1^3 </math> hingga <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:
 
: <math>n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>
 
kitamaka mendapatkanakan bentukanmenghasilkan bentuk berikut:
 
: <math>
Baris 51 ⟶ 43:
\end{align}</math>
 
{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Sebagai alternatifAlternatifnya, salah satunyaseseorang dapat menguraikan tabel menjadi urutanbarisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku adalah suatu nilai tetapkonstan. Jumlah dalam setiap gonmon adalah kubus, jadidan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan kubik. [[Berkas:Sum_of_cubes2.png|jmpl| Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus. |400x400px]]▼
{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari
Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris. ▼
 
▲baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Sebagai alternatif, salah satunya dapat menguraikan tabel menjadi urutan [[gnomon]], masing-masing terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku adalah suatu nilai tetap. Jumlah dalam setiap gonmon adalah kubus, jadi jumlah seluruh tabel adalah jumlah kubus.
[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|ka|jmpl| Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus. ]]
▲Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris.
 
== Generalisasi ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Bilangan_segitiga_kuadrat"