Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya ditambahbertambah menjadi jumlah bilangan kubik. Dari {{Harvard citation text|Gulley|2010}} . ]]

{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan-bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:

HasilTerdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah bereksponenpangkat]], yaitu bahwa: jumlah bereksponenpangkat ganjil adalahsama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. IniHasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], disuatu manapolinomial dengan jumlah bilangan kubik adalahyang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah bereksponen satupangkat kuadrat dari yang lain {{Harvard citation|Edmonds|1957}}. .

{{harvtxt|Stroeker|1995}} mempelajari kondisisyarat-syarat yang lebih umum, di manadengan jumlah urutanbarisan bilangan kubus berturut-turutberurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. {{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} dan {{harvtxt|Warnaar|2004}} mempelajari analog polinomial dari rumus bilangan segitiga triangularkuadrat, di manadengan deret pada polinomial menambahbertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.