Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8.9 |
k clean up |
||
Baris 2:
[[Berkas:Clock group.svg|thumb|250px|right|Pengatur waktu pada jam ini menggunakan aritmetika modulo 12.]]
Dalam [[matematika]] dan khususnya pada [[teori bilangan aljabar]], '''aritmetika modular''' adalah metode [[aritmetika]] untuk menyelesaikan permasalahan mengenai [[bilangan bulat]]. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada [[sistem 12-jam]], di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan {{nowrap|7 + 8 {{=}} 15}}. Namun karena jam "berulang" setiap 12 jam, angka 15 "sama dengan" angka 3; ini adalah contoh ''aritmetika modulo'' 12.
Walau sudah dipelajari sejak kuno, sejarawan umumnya mengasosiasikan kemunculan aritmetika modular dengan tahun 1801, tahun publikasi buku ''[[Disquisitiones Arithmeticae]] '' karya [[Carl Friedrich Gauss]]. Pendekatan yang ia gunakan mempermudah penjelasan [[Konjektur|konjektur-konjektur]] terkenal, dan menyederhanakan bukti-bukti penting. Implikasi karya Gauss juga ditemukan pada bidang selain [[teori bilangan]], seperti [[aljabar]] dan [[geometri]].
Baris 26:
Pada tahun 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac <!-- Mungkin ada alih bahasa yang lebih baik, dari nama orang ini? -->menerjemahkan buku Diofantos ke bahasa Latin, yang memicu ketertarikan matematikawan saat itu. [[Pierre de Fermat]] banyak memberikan pernyataan matematika, tiga yang terkenal adalah [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir]]-nya, teorema jumlah dua persegi, dan [[Teorema kecil Fermat|teorema kecil]]-nya. [[Marin Mersenne]] mencari [[Bilangan prima Mersenne|bilangan prima yang mememiliki sifat unik]]. Fermat berkorespodensi dengannya, menulis [terjemahan] "Jika saya mengetahui alasan fundamental mengapa 3, 5, 7, 17, 257, 65537, ..., adalah bilangan prima, sepertinya saya akan menemukan hal yang sangat indah dalam masalah ini, karena saya sudah menemukan hal hebat yang saya bagikan kepadamu saat ini".<ref>Fermat, ''Korespodensi'', sebuah surat kepada Marin Mersenne, 25 Desember 1640.</ref> Bilangan tersebut dikenal sebagai [[bilangan Fermat]], walau sifat keprimaannya bilangan-bilangan tersebut ternyata hanya tebakan yang keliru dari Fermat. [[René Descartes|Rene Descartes]] melakukan penelitian tanpa hasil, dalam membuktikan jika sisa pembagian [[bilangan prima]] dengan 8 bernilai 1 atau 3, bilangan prima tersebut dapat ditulis dalam bentuk <math>x^2+2y^2</math>.
<!-- ===Perkembangan metode yang digunakan=== -->
=== Kontribusi Carl Friedrich Gauss ===
Baris 96:
=== Bilangan aljabar ===
{{Main|Bilangan Gaussian}}
Pada kasus polinomial dengan koefisien bilangan bulat, sifat pembagian hanya berlaku untuk polinomial dengan koefisien derajat tersebesar bernilai 1 atau -1. Bagian ini membahas modulus berupa polinomial <math>X^2+1</math>, dengan struktur modular yang didapatkan masih bagian dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggangnya]]. Gelanggang ini berisi himpunan bilangan dalam bentuk <math>\alpha + i \beta</math>, dengan <math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> berupa bilangan bulat dan <math>i</math> berupa [[Bilangan imajiner|unit bilangan imajiner]], yang berkorespodensi dengan monomial <math>X</math>. Himpunan tersebut dikenal sebagai bilangan
=== Sistem residu ===
| |||