Teorema Lagrange (teori grup): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode - Spasi dalam kategori) |
k clean up |
||
Baris 2:
{{for|Teorema Lagrange|Teorema Lagrange (disambiguasi)}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
[[Berkas:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|G adalah grup <math>\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}</math>, [[Bilangan bulat modulo n
'''Teorema Lagrange''', dalam [[teori grup]], bagian dari [[matematika]], menyatakan bahwa jika {{mvar | H}} adalah [[subgrup]] dari [[grup terbatas]] {{mvar | G}}, maka [[urutan (teori grup)
{{math_theorem|Teorema Lagrange|Jika {{mvar | H}} adalah subkelompok dari grup {{mvar | G}}, maka <math>\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|.</math>}}
Varian ini berlaku meskipun {{mvar | G}} tidak terbatas, asalkan <math>|G|</math>, <math>|H|</math>, dan {{math|[''G'' : ''H'']}} ditafsirkan sebagai [[bilangan kardinal]].
Baris 9:
== Bukti ==
[[Coset]] kiri dari {{mvar | H}} di {{mvar | G}} adalah [[kelas ekivalen]] dari [[hubungan ekivalen]] tertentu pada {{mvar | G}}: khusus, panggil {{mvar | x}} dan {{mvar | y}} di {{mvar | G}} setara jika ada {{mvar | h}} di {{mvar | H}} sedemikian rupa sehingga {{math|''x'' {{=}} ''yh''}}.
Oleh karena itu koset kiri membentuk [[Partisi himpunan
Setiap koset kiri {{math | ''aH''}} memiliki kardinalitas yang sama dengan {{mvar | H}} karena <math>x \mapsto ax</math> mendefinisikan kebijaksanaan <math>H \to aH</math> (the inverse is <math>y \mapsto a^{-1}y</math>). Jumlah koset kiri adalah [[indeks subgrup
Dengan tiga kalimat sebelumnya,
:<math>\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|.</math>
Baris 30:
== Aplikasi ==
Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa [[urutan (teori grup)
:<math>\displaystyle a^n = e\mbox{.}</math>
Baris 36:
Ini dapat digunakan untuk membuktikan [[teorema kecil Fermat]] dan generalisasinya, [[Teorema Euler]]. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.
Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan [[grup sederhana
Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak [[bilangan prima]] yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar {{mvar | p}}, kemudian pembagi prima {{mvar | q}} dari [[bilangan Mersenne]] <math>2^p -1</math> akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan {{math | 2}} dalam [[grup perkalian]] <math>(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*</math> (lihat [[aritmatika modular]]) membagi urutan <math>(\mathbb Z/q\mathbb Z)^*</math>, yaitu <math>q-1</math>. Karenanya {{math|''p'' < ''q''}}, bertentangan dengan asumsi bahwa {{mvar | p}} adalah bilangan prima terbesar.<ref>{{Citation|last1=Aigner|first1=Martin|author-link=Martin Aigner|last2=Ziegler|first2=Günter M.|author2-link=Günter M. Ziegler|year=2018|title=[[Proofs from THE BOOK]]|chapter=Chapter 1|pages=3–8|publisher=Springer|location=Berlin|edition=Revised and enlarged sixth|isbn=978-3-662-57264-1}}</ref>
Baris 43:
Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas '' G '' dan pembagi '' d '' dari |''G''|, belum tentu ada subgrup '' G '' dengan urutan '' d ''. Contoh terkecil adalah ''A''<sub>4</sub> ([[grup bergantian]] dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.
"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan. Diketahui bahwa grup CLT harus [[solvable group
Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, [[Teorema Cauchy (teori grup)
=== Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange ===
Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika {{mvar | d}} adalah [[pembagi]] dari urutan grup {{mvar | G}}, maka terdapat subgrup dimana {{math|{{!}}''H''{{!}} {{=}} ''d''}}.
Jika memeriksa [[grup bergantian]] {{math|''A''<sub>4</sub>}}, himpunan genap [[grup Permutasi
:{{math|''A''<sub>4</sub> {{=}} {{mset|''e'', (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}}}}.
Baris 56:
{{math|{{!}}''A''<sub>4</sub>{{!}} {{=}} 12}} jadi pembaginya adalah {{math | 1, 2, 3, 4, 6, 12}}. Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup {{mvar | H}} pada {{math|''A''<sub>4</sub>}} dengan {{math|{{!}}''H''{{!}} {{=}} 6}}.
Misalkan {{mvar | V}} menjadi subgrup [[Cyclic group
:{{math|''V'' {{=}} {{mset|''e'', (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}}}}.
Baris 70:
Kemudian, {{math|''K'' {{=}} {{mset|''e'', ''v''}}}} dimana {{math|''v'' ∈ ''V''}}, {{mvar|v}} harus dalam bentuk {{math|(''a b'')(''c d'')}} dimana {{mvar|a, b, c, d}} adalah elemen yang berbeda dari {{math|{{mset|1, 2, 3, 4}}}}. Empat elemen lainnya dalam {{mvar | H}} adalah siklus dengan panjang 3.
Perhatikan bahwa coset [[Menghasilkan himpunan grup
Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh {{mvar | H}}, maka {{mvar | H}} harus normal. Karena, {{math|''H'' {{=}} ''gHg''<sup>−1</sup> (∀''g'' ∈ ''A''<sub>4</sub>)}}. Secara khusus, ini benar untuk {{math|''g'' {{=}} (''a b c'') ∈ ''A''<sub>4</sub>}}. Karena {{math|''H'' {{=}} ''gHg''<sup>−1</sup>, ''gvg''<sup>−1</sup> ∈ ''H''}}.
Baris 84:
Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentang''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'',<ref>{{cite journal | last = Lagrange|first= Joseph-Louis | author-link= Joseph-Louis Lagrange | year = 1771 | title = Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs. |trans-title=Rangkaian refleksi pada solusi aljabar persamaan. Bagian ketiga. Pada solusi persamaan derajat kelima & derajat yang lebih tinggi | journal = Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin | pages = 138–254 | url = https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138}} ; see especially [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA202#v=onepage&q&f=false pages 202-203.]</ref> bahwa jika polinomial dalam variabel {{mvar | '' n ''}} variabelnya diubah dalam semua cara {{math | '' n ''!}}, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari {{math|''n''!}}. (Misalnya, jika variabel {{mvar | '' x ''}}, {{mvar | '' y ''}}, dan {{mvar | '' z ''}} diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial {{math|''x'' + ''y'' − ''z''}} maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: {{math|''x'' + ''y'' − ''z'', ''x'' + ''z'' − ''y'', dan ''y'' + ''z'' − ''x''}}. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam [[grup simetris]] {{math|''S''<sub>n</sub>}} dari subkelompok {{mvar | '' H ''}} dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya {{math|''x'' + ''y'' − ''z''}}, subgrup {{mvar | '' H ''}} pada {{math|''S''<sub>3</sub>}} berisi identitas dan transposisi {{math|(''x y'')}}.) So the size of {{mvar|''H''}} membagi {{math|''n''!}}. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.
Dalam miliknya ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' pada tahun 1801, [[Carl Friedrich Gauss]] membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus <math>(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*</math>, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol [[Aritmetika modular
[[Camille Jordan]] akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus [[grup permutasi]] mana pun pada tahun 1861.<ref>{{cite journal | first=Camille| last=Jordan|author-link=Camille Jordan | year = 1861 | title = Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions |trans-title=Memoir on the number of values of functions |journal = Journal de l'École Polytechnique | volume = 22 | pages = 113–194 | url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433691p/f118.image.langEN}} Jordan's generalization of Lagrange's theorem appears on [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433691p/f171.image.r=Lagrange.langEN page 166.]</ref>
| |||