Turunan: Perbedaan antara revisi

*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math>

*: <math> \frac{d}{dx} x^a = \frac{d}{dx}x \cdot a \cdot x^{a-1}</math>

* ''[[Turunan implisit]]<ref>{{Cite web|date=2021-01-02|title=3.4: Implicit Differentiation|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Elementary_Calculus_(Corral)/03%3A_Topics_in_Differential_Calculus/3.04%3A_Implicit_Differentiation|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2022-11-05}}</ref>'':

Contoh 1: mencari turunan ''dy/dx'' ''dari'':<blockquote><math>x^3+3x+2=y^2</math></blockquote>dapat dilakukan dengan cara berikut:<blockquote><math>\rightarrow \quad \frac{d}{dx}(x^3+3x+2) = \frac{d}{dx}(y^2)

*: <math> \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0.</math>

*: <math> \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)},\qquad x, a > 0</math>

* ''[[Fungsi trigonometri]]'':

*: <math> \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).</math>

*: <math> \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).</math>

*: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math>

* ''[[Fungsi invers trigonometri]]'':

*: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math>

* ''Aturan konstanta'':

*: <math>f'(x) = 0. </math> untuk <math>f(x)</math> berupa fungsi konstan.

* ''[[Linearitas diferensiasi|Kaidah jumlah]]'':

*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}, dan untuk semua bilangan real ''<math>\alpha</math>'' dan ''<math>\beta</math>''.

* ''[[Kaidah darab]]'':

*: <math>(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' </math> untuk semua fungsi {{Math|''f''}} dan {{Math|''g''}}. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f'</math> dengan <math>\alpha</math> berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, <math>(\alpha \cdot f)' = \alpha \cdot f' + \alpha' \cdot f = \alpha \cdot f' + 0 \cdot f = \alpha \cdot f'</math>.

* ''[[Kaidah hasil-bagi]]'':

*: <math>\left(\frac{g}{h} \right)' = \frac{g'\cdot h - g\cdot h'}{h^2}</math> untuk semua fungsi <math>g</math> dan <math>h</math>, di semua titik <math>x</math> di <math>I</math> yang memenuhi <math>h(x) \ne 0</math>. Pada kasus <math>g</math> berupa fungsi konstan bernilai <math>1</math>, akan didapatkan hubungan <math>\left(\frac{1}{h} \right)' = \frac{-h'}{h^2}</math>

* ''[[Aturan rantai]]'' untuk komposisi fungsi:

*: Jika fungsi <math>h</math> terdiferensialkan pada [[selang (matematika)|selang]] <math>I_1</math>, dan fungsi <math>g</math> terdiferensialkan pada selang <math>I_2 = h(I_1)</math> (<math>I_2</math> adalah citra dari <math>I_1</math> yang dihasilkan fungsi <math>h</math>), maka komposisi fungsi <math>g\circ h </math> terdiferensialkan di <math>I_1</math> dan

*: <math>(g\circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x). </math>

* ''Kaidah fungsi invers'':

*: Jika fungsi <math>f</math> bersifat [[bijektif]], dan <math>f^{-1}</math> adalah invers dari fungsi tersebut, maka

: <math>f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{jika }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{jika }x \le 0.\end{cases}</math>

 

 

=== Polinomial Taylor dengan sisa ===

: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>

 

 

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan <math>\mathbf f(x_1,\,\dots,\,x_n)</math> sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial <math>\tfrac{\partial \mathbf f}{\partial x_j}</math> terdefinisi di titik <math>\mathbf a = (a_1,\,\dots,\,a_n)</math>, turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

*[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"]

*{{MathWorld|title=Derivative|id=Derivative}}

* [http://www.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator/ Online Derivative Calculator] from [[Wolfram Alpha]].

 

[[Kategori:Analisis matematika]]