Gelombang-S: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
+ baru Tag: Menghapus pengalihan |
+ Teori |
||
Baris 13:
== Sejarah ==
Pada 1830, matematikawan [[Siméon Denis Poisson]] mempresentasikan kepada [[Akademi Sains Prancis]] sebuah esai ("memoar") dengan teori perambatan gelombang elastis dalam benda padat. Di dalam memoarnya, ia menyatakan bahwa gempa bumi menghasilkan dua gelombang berbeda: salah satunya memiliki kecepatan tertentu sebesar <math>a</math> dan gelombang lainnya memiliki kecepatan <math>\frac{a}{\sqrt 3}</math>. Pada jarak yang cukup dari sumber gempa, ketika gelombang tersebut dapat dianggap sebagai [[gelombang bidang]] pada wilayah tinjauan, jenis gelombang pertama terdiri dari ekspansi dan kompresi dalam arah tegak lurus muka gelombang (yaitu, paralel terhadap arah gerak gelombang); sementara jenis kedua terdiri dari gerak regangan yang terjadi dalam arah paralel terhadap muka gelombang (tegak lurus arah gerak).<ref name=pois1831>{{cite journal |last1=Poisson |first1=S. D. |title=Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques |journal=Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France |date=1831 |volume=10 |pages=549–605 |url=https://books.google.com/books?id=NJ04Yqm2iFkC&pg=PA549 |trans-title=Memoir on the propagation of motion in elastic media |language=fr}} Dari hal. 595: "''On verra aisément que cet ébranlement donnera naissance à deux ondes sphériques qui se propageront uniformément, l'une avec une vitesse ''a'', l'autre avec une vitesse ''b'' ou ''a'' / {{radic|3}}''" ... (Seseorang dapat dengan mudah melihat bahwa gempa bumi ini dapat melahirkan dua gelombang sferis yang akan merambat secara seragam, salah satu gelombang dengan kecepatan ''a'', gelombang lainnya dengan kecepatan ''b'' atau ''a'' /√3 ... ) Dari hal. 602: ... "''à une grande distance de l'ébranlement primitif, et lorsque les ondes mobiles sont devenues sensiblement planes dans chaque partie très-petite par rapport à leurs surfaces entières, il ne subsiste plus que des vitesses propres des molécules, normales ou parallèles à ces surfaces ; les vitesses normal ayant lieu dans les ondes de la première espèce, où elles sont accompagnées de dilations qui leur sont proportionnelles, et les vitesses parallèles appartenant aux ondes de la seconde espèce, où elles ne sont accompagnées d'aucune dilatation ou condensation de volume, mais seulement de dilatations et de condensations linéaires.''" ( ... pada jarak yang jauh dari asal gempa bumi, dan ketika gelombang bergerak kira-kira menjadi bidang pada setiap bagian kecil dari keseluruhan permukaan, tetap hanya terdapat molekul yang memiliki kecepatan [dalam medium padat elastis Bumi], normal atau paralel terhadap permukaan ini; kecepatan normal terjadi pada gelombang jenis pertama, yang diiringi oleh ekspansi yang proporsional terhadapnya, dan kecepatan paralel dimiliki oleh gelombang jenis kedua, yang tidak diiringi oleh ekspansi atau kontraksi volume, tetapi hanya oleh regangan dan tekanan linear.)</ref>
== Teori ==
=== Medium isotropis ===
Untuk tujuan penjelasan ini, sebuah medium padat dapat dikatakan [[isotropi]]s jika [[deformasi (fisika)|regangan (deformasi)]] medium dalam merespons [[tegangan (mekanika)|tegangan]] sama di segala arah. Misal <math>\boldsymbol{u} = (u_1,u_2,u_3)</math> adalah [[Vektor (matematika dan fisika)|vektor]] perpindahan suatu partikel dalam suatu medium dari posisi "istirahat" <math>\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)</math> akibat getaran elastis, yang dipahami sebagai [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari posisi istirahat <math>\boldsymbol{x}</math> dan waktu <math>t</math>. Deformasi medium pada titik tersebut dapat dijabarkan oleh [[Teori regangan infinitesimal|tensor regangan]] <math>\boldsymbol{e}</math>, matriks 3×3 yang elemennya merupakan
<math display="block">e_{i j} = \tfrac{1}{2} \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)</math>
dengan <math>\partial_i</math> adalah turunan parsial terhadap koordinat posisi <math>x_i</math>. Tensor regangan berhubungan dengan [[Tensor tegangan Cauchy|tensor tegangan]] 3×3 <math>\boldsymbol{\tau}</math> melalui persamaan
<math display="block">\tau_{i j} = \lambda\delta_{i j}\sum_{k} e_{k k} + 2\mu e_{i j}</math>
Di sini <math>\delta_{ij}</math> adalah [[fungsi delta Kronecker]] (1 jika <math>i = j</math>, 0 untuk kondisi lainnya) serta <math>\lambda</math> dan <math>\mu</math> adalah [[parameter Lamé]] (<math>\mu</math> menjadi [[modulus geser]] material). Sehingga persamaan tersebut menjadi
<math display="block">\tau_{i j} = \lambda\delta_{i j} \sum_{k} \partial_k u_k + \mu \left( \partial_i u_j + \partial_j u_i \right)</math>
Dari [[Hukum gerak Newton|Hukum inersia Newton]], juga didapat satu persamaan
<math display="block">\rho \partial_t^2 u_i = \sum_j \partial_j\tau_{i j}</math>
dengan <math>\rho</math> adalah [[massa jenis]] (massa per satuan volume) medium pada titik tersebut, dan <math>\partial_t</math> adalah turunan parsial terhadap waktu. Menggabungkan dua persamaan terakhir, diperoleh ''persamaan gelombang seismik pada media homogen''
<math display="block">\rho \partial_t^2 u_i = \lambda\partial_i \sum_k \partial_k u_k + \mu\sum_j \bigl(\partial_i\partial_j u_j + \partial_j\partial_j u_i\bigr)</math>
Menggunakan notasi [[del|operator nabla]] pada [[kalkulus vektor]], <math>\nabla = (\partial_1, \partial_2, \partial_3)</math>, dengan berbagai aproksimasi, persamaan ini dapat ditulis sebagai
<math display="block">\rho \partial_t^2 \boldsymbol{u} = \left(\lambda + 2\mu \right) \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}\right) - \mu\nabla \times \left(\nabla \times \boldsymbol{u}\right)</math>
Menggunakan [[operator rotasi]] pada persamaan ini dan menerapkan vektor identitas, diperoleh persamaan
<math display="block">\partial_t^2(\nabla\times\boldsymbol{u}) = \frac{\mu}{\rho}\nabla^2 \left(\nabla\times\boldsymbol{u}\right)</math>
Persamaan ini merupakan [[persamaan gelombang]] yang berlaku pada besaran vektor <math>\nabla\times \boldsymbol{u}</math>, yang merupakan regangan geser material. Solusi persamaan ini, gelombang-S, merupakan [[kombinasi linear]] dari [[gelombang bidang]] [[gelombang sinus|sinusoidal]] dengan berbagai [[panjang gelombang]] dan arah rambat, tetapi semua gelombang memiliki kecepatan sama sebesar <math display="inline">\beta = \sqrt{\mu/\rho}</math>
Menggunakan [[Divergensi|operator divergensi]] terhadap persamaan gelombang seismik pada media homogen, alih-alih operator rotasi, menghasilkan persamaan gelombang yang menjabarkan perambatan besaran <math>\nabla \cdot \boldsymbol{u}</math>, yang merupakan regangan tekan material. Solusi persamaan ini, gelombang-P, merambat pada kecepatan sebesar <math display="inline">\alpha = \sqrt{(\lambda + 2\mu)/\rho}</math>, lebih dari dua kali lipat kecepatan <math>\beta</math> pada gelombang-S.
Gelombang SH [[keadaan tunak]] dijabarkan oleh [[persamaan Helmholtz]]<ref>{{Cite book |last=Graff |first=Karl F. |url=https://books.google.si/books?hl=sl&lr=&id=jorRAgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PP1&ots=Ld6ylA9TR9&sig=iHN3sMCd8zp2eOPSawgY-yWEmmU&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |title=Wave Motion in Elastic Solids |date=2012-04-26 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-13957-9 |language=en}}</ref>
<math display="block"> \left(\nabla^2 + k^2 \right) \boldsymbol{u}=0 </math>
dengan {{mvar|k}} adalah bilangan gelombang.
== Lihat pula ==
| |||