Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
kTidak ada ringkasan suntingan |
k pembersihan kosmetika dasar |
||
Baris 44:
</math>
Ini berarti <math> A </math> memetakan unit [[Hiperkubus|''n''-kubus]] ke ''n''-dimensi [[parallepiped#Parallelotop|
Determinan memberikan volume dimensi [[orientasi (ruang vektor)|bertanda]] '' n '' dari paralelotop ini, <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P),</math> dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi '''n'' dari [[transformasi linear]] yang dihasilkan oleh ''A''.<ref>{{cite web|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|title=Determinants and Volumes|author=|date=|website=textbooks.math.gatech.edu|accessdate=16 March 2018}}</ref> (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]].) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi '' n '', yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan '' A '' lebih kecil dari ''n''. Ini [[Teorema peringkat-nulitas
== Definisi ==
Baris 69:
\end{align}</math>
di mana '' b '' dan '' c '' adalah skalar, '' v '' adalah sembarang vektor berukuran '' n '' dan '' I '' adalah [[matriks identitas]] berukuran '' n ''. Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, [[gelanggang komutatif]]), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik.<ref>
Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku '' n '' dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah [[ekspresi polinomial]] dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks memiliki [[Faktorial|''n''!]] istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus {{nowrap|2 × 2}} matriks dan matriks {{nowrap|3 × 3}}, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.
Baris 81:
\end{bmatrix}.</math>
Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan [[karakteristik polinomial]]); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara [[
Determinan dari '' A '' dilambangkan dengan det(''A''), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:
Baris 94:
=== Matriks 2x2 ===
[[Berkas:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan sisi jajaran genjang.]]
[[Rumus Leibniz untuk determinan
:<math>\begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>
Baris 114:
=== Maktris {{nowrap|n}}×{{nowrap|n}} ===
[[Berkas:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb| Volume [[parallelepiped]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.]]
Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan [[rumus Leibniz determinan
Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matrix ''A'' is
Baris 153:
=== Rumus Leibniz ===
[[Rumus Leibniz untuk determinan
:<math>\begin{align}
\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}
| |||