Deret geometrik: Perbedaan antara revisi

 

=== Rumus ===

 

<math display="inline">A_0,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots</math> masing-masing. Setiap luas persegi bertindih <math display="inline">A_i</math> memiliki luas berbentuk L tak bertindih <math display="inline">L_i = A_i - A_{i + 1} = A_i \cdot (1 - r)</math>. Oleh karena itu, <math display="inline">\frac{A_i}{L_i} = \frac{1}{1 - r}</math> atau <math display="inline">A_i = \frac{L_i}{1 - r}</math>. Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>. Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah <math display="inline">1 </math> (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math> juga harus <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>, di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math>, di mana diturunkan untuk rentang <math display="inline">0 < r < 1</math> tetapi bisa diperpanjang hingga rentang <math display="inline">-1 < r < 1</math> dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap <math display="inline">r</math> (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil <math display="inline">r</math> (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r^2} + \frac{ar}{1 - r^2} = \frac{a \cdot (1 + r)}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{a}{1 - r}</math>.]]

 

dimana <math>a</math> adalah suku pertama dari deret, dan <math>r</math> adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, <math>s</math>, sebagai berikutː

 

Karena <math>n</math> mendekati tak terhingga, nliai absolut <math>r</math> harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi

 

Ketika <math>a = 1</math>, ini bisa disederhanakan menjadi

 

=== Bukti kekonvergenan ===

 

: <math>\begin{align}

 

Perhatikan bahwa

 

Dengan demikian,

Kekonvergenan dari sebuah deret geometrik mengungkapkan bahwa sebuah penjumlahan dari sebuah bilangan takhingga yang dijumlahkan memang bisa terbatas, dan juga memungkinkan salah satu untuk menyelesaikan banyaknya paradonks [[Zeno dari Elea|Zeno]].. Sebagai contoh, paradoks dikotomi Zeno menyatakan bahwa gerakan itu tidak mungkin, sebagai salah satu bisa dibagi setiap lintasan yang hingga menjadi sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah dimana setiap langkah diambil menjadi setengah jarak yang tersisa. Kesalaan Zeno ada dalam asumsi bahwa jumlah dari sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah terhingga tidak bisa terhingga. Ini tentu saja tidak benar, sebagaimana dibuktikan oleh kekonvergenan dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math>.

 

 

=== Euklid ===

* [[0.999...]] – Perpanjang desimal alternatif dari bilangan 1

* [[Asimtot]] – Dalam geometri, limit dari tangen pada sebuah titik yang cenderung ke takhingga

* [[Deret (matematika)]] – Penjumlahan takhingga

* [[Deret geometrik divergen]]

* {{Cite web|last=Casselman|first=Bill|title=A Geometric Interpretation of the Geometric Series|url=http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|format=Applet|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929083805/http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|archive-date=2007-09-29|url-status=dead}}

* [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[[Kategori:Deret geometrik]]

[[Kategori:Rasionalis]]