|
=== Pembagian ===
Diberikan elemen <math> a </math> dan <math> b </math> dari grup <math> G </math>, maka terdapat solusi tunggal <math> x </math> dalam <math> G </math> untuk persamaan <math> a \cdot x = b </math>, yaitu <math> a^{-1} \cdot b </math>. (Biasanya notasi seperti <math> b/a </math> dihindari , kecuali jika <math> G </math> adalah abelian, karena notasi tersebut dapat berarti <math> a^{-1} \cdot b </math> atau <math> b \cdot a^{-1}</math>.){{sfn|Artin|2018|p=40}} Oleh karena itu, untuk setiap <math> a </math> dalam <math> G </math>, fungsi <math> G \to G </math> yang memetakan <math> x \to a \cdot x </math> adalah [[bijeksi|bijektif]]; itu disebut ''perkalian kiri dengan <math> a </math>'' atau ''translasi kiri dengan <math> a </math>''. Dengan cara yang serupa, diberikan <math> a </math> dan <math> b </math>, maka solusi tunggal untuk <math> x \cdot a = b </math> adalah <math> b \cdot a^{-1} </math>. Untuk setiap <math> a </math>, fungsi elemen <math> a </math> dan <math> b </math> yang memetakan <math> x \to x \cdot a </math> adalah bijektif yang disebut ''perkalian kanan dengan <math> a </math>'' atau ''translasi kanan dengan <math> a </math>''.
== Notasi grup ==
Suatu grup yang terdiri atas himpunan <math>G</math> dan operasi <math>*</math> dapat ditulis <math>(G,*)</math>.
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari [[perkalian]], dan operasi grup ditulis seperti perkalian (''notasi perkalian''):
* Kita menulis <math>a\cdot b</math>, atau bahkan <math>ab</math>, untuk <math>a*b</math>.
* Kita menulis <math>1</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur satuan''.
* Kita menulis <math>a^{-1}</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''kebalikan'' dari <math>a</math>.
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari [[penjumlahan]] dan ditulis seperti penjumlahan (''notasi penjumlahan''):
* Kita menulis <math>a + b</math> untuk <math>a * b</math> dan menyebutnya jumlah <math>a</math> dan <math>b</math>.
* Kita menulis <math>0</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur nol''.
* Kita menulis <math>-a</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''lawan'' dari <math>a</math>.
Biasanya, hanya [[grup abelian]] (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat ''noncommittal'', kita dapat menggunakan notasi (dengan <math>*</math>) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi <math>a^{-1}</math> sebagai invers dari <math>a</math>.
Bila <math>S</math> adalah sub himpunan dari <math>G</math> dan <math>x</math> unsur dari <math>G</math> maka dalam notasi perkalian <math>xS</math> merupakan himpunan dari semua hasil perkalian <math>xs</math> untuk <math>s</math> dalam <math>S</math> (dengan kata lain, <math>xS=\{xs | s\in S\}</math>). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi <math>Sx=\{sx | s\in S\}</math>, dan untuk dua sub himpunan <math>S</math> dan <math>T</math> dari <math>G</math> kita dapat menulis <math>ST</math> untuk <math>\{st | s\in S,t\in T\}</math>. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan <math>x+S,S+x,</math> dan <math>S+T</math> untuk masing-masing pasangan.
== Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup ==
=== Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan ===
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan <math>\mathbb{Z}</math> merupakan himpunan bilangan bulat, <math>\{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...\}</math> dan simbol <math>+</math> sebagai operasi [[penjumlahan]]. Dengan demikian, <math>(\mathbb{Z},+)</math> merupakan suatu grup.
Bukti:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat maka <math>a + b</math> juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah bilangan bulat maka <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>0</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>0 + a = a + 0 = a</math> (elemen identitas).
* Bila <math>a</math> sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat <math>b = -a</math> sedemikian sehingga <math>a + b = b + a = 0</math> (elemen invers).
Grup ini juga merupakan abelian, karena <math>a + b = b + a</math> (sifat komutatif).
Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.
=== Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian ===
Bilangan bulat terhadap [[perkalian]] yang dilambangkan dengan <math>\times</math>. Maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan sebuah grup. Alasannya:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat maka <math>a \times b</math> merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> bilangan bulat maka <math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>1</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>1 \times a = a \times 1 = a</math> (elemen identitas).
* Tetapi, bila <math>a</math> sebaramg bilangan bulat bukan <math>0</math> maka tidak ada bilangan bulat bukan <math>0</math> yang memenuhi <math>ab = ba = 1</math>. Sebagai contoh, misalkan <math>a = 2</math> maka berapapun <math>b</math> (bilangan bulat bukan <math>0</math>) maka <math>|ab| = |2b| > 1</math> (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).
Karena tidak semua elemen dari <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> mempunyai invers maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> sebuah [[monoid]] komutatif.
=== Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian ===
Misalkan <math>\mathbb{Q}</math> sebagai himpunan [[bilangan rasional]], yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan <math>\frac{a}{b}</math> dengan <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat dan <math>b</math> bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol <math>\times</math> Karena bilangan rasional [[0]] tidak memiliki invers untuk perkalian maka <math>(\mathbb{Q},\times)</math>, sebagaimana juga <math>(\mathbb{Z},\times)</math> bukan sebuah grup.
Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan <math>\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}</math>, yang mencakup setiap bilangan rasional ''kecuali'' nol maka <math>(\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}, \times)</math> merupakan grup abelian. Invers <math>\frac{a}{b}</math> adalah <math>\frac{b}{a}</math> dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.
Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari [[medan (matematika)|medan]]. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.
=== Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan ===
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan ''a'' adalah aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan ''b'' adalah aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan ''xy'' untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan ''y'' kemudian lakukan ''x''” sehingga ''ab'' adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan ''e'' untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam [[permutasi]] dari himpunan tiga blok sebagai berikut:
* ''e'': MHB → MHB
* ''a'': MHB → HMB
* ''b'': MHB → MBH
* ''ab'': MHB → BMH
* ''ba'': MHB → HBM
* ''aba'': MHB → BHM
Perhatikan bahwa aksi ''aa'' akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan ''aa'' = ''e''.
Demikian pula,
* ''bb'' = ''e''
* (''aba'')(''aba'') = ''e'', dan
* (''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''.
Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.
Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,
* (''ab'')''a'' = ''a''(''ba'') = ''aba'', dan
* (''ba'')''b'' = ''b''(''ab'') = ''aba''.
Grup ini disebut [[grup simetri]] pada tiga huruf, atau S<sub>3</sub>. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh ''ab'' ≠ ''ba''). Karena S<sub>3</sub> dibangun dari aksi dasar ''a'' dan ''b'' maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {''a'',''b''} membangun S<sub>3</sub>.
Setiap grup dapat diungkapkan dalam [[grup permutasi]] seperti S<sub>3</sub>. Hasilnya merupakan [[Teorema Cayley]] dan dipelajari sebgai bagian dari subyek [[aksi grup]].
=== Contoh lanjutan ===
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.
== Teorema sederhana ==
* Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
* Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
* Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup ''a'' dan ''b'' dari grup <math>G</math>, hanya ada satu solusi ''x'' dalam <math>G</math> terhadap persamaan ''x'' * ''a'' = ''b'' dan hanya satu solusi ''y'' dalam <math>G</math> untuk persamaan ''a'' * ''y'' = ''b''.
* Ungkapan ''a<sub>1</sub>'' * ''a<sub>2</sub> * ... * ''a<sub>n</sub>'' tidak ambigu karena hasilnya akan sama di mana saja kita menempatkan tanda kurung.
* Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>.
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari [[teori grup elementer]].
=== Membuat grup baru dari suatu grup tertentu ===
* Jika himpunan bagian <math>H</math> dari grup <math>(G,*)</math>,
* Hasil kali dari dua grup <math>(G,*)</math> dan <math>(H, \times)</math> merupakan himpunan <math>G</math>x<math>H</math> dengan operasi (''g<sub>1</sub>'', ''h<sub>1</sub>'')(''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>2</sub>'') = (''g<sub>1'' * ''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>1</sub>'' × ''h<sub>2</sub>'').
* “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan subgrup perkalian yang diwakilkan oleh elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
* Grup tertentu <math>G</math> dan sebuah [[subgrup normal]] <math>N</math>, maka [[grup kuosien]] adalah himpunan dari kohimpunan dari <math>G / N</math> terhadap operasi (''g''<math>N</math>)(''h''<math>N</math>) = ''gh''<math>N</math>.
== Catatan==
| 