|
</gallery>
Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 lihat.]
----------------------------------
== Contoh ==
: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>
Di sini, <math>\sinh</math> adalah sebuah [[fungsi hiperbolik]]. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan {{EquationNote|Eq.7}} menurut nilai <math>\sinh(ny)/\sinh(n\pi)</math>.<!--While our example function <math>s(x)</math> seems to have a needlessly complicated Fourier series, the heat distribution <math>T(x,y)</math> is nontrivial. The function <math>T</math> cannot be written as a [[closed-form expression]]. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work.-->
== Konvergen ==
=== Teorema<ref>Hendra Gunawan, ''Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet'', 2014</ref> ===
Misalkan <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> adalah fungsi yang periodik dengan periode <math>2\pi</math>, kontinu dan mulus bagian demi bagian.
Maka, deret Fourier dari <math>f</math> konvergen mutlak dan secara seragam pada <math>\mathbb{R}</math>.
===Aplikasi lain===
Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan [[Masalah Basel]] dengan menggunakan [[Teorema Parseval]]. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung [[Fungsi Riemann zeta|ζ]](2''n''), untuk bilangan bulat positif apa pun nilai ''n''.
Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi [[Fungsi genap dan ganjil#Genap–ganjil|bagian genap dan ganjil]], ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan subskrip RE, RO, IE, dan IO. Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:<ref name="ProakisManolakis1996">{{cite book|last1=Proakis|first1=John G. |last2=Manolakis|first2=Dimitris G.|author2-link= Dimitris Manolakis |title=Pemrosesan Sinyal Digital: Prinsip, Algoritma, dan Aplikasi|url=https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa|url-access=registration|year=1996|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-373762-2|edition=3rd|p=[https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa/page/291 291]}}</ref>
: <math>
\begin{array}{rccccccccc}
\text{Domain waktu} & f & = & f_{_{\text{RE}}} & + & f_{_{\text{RO}}} & + & i f_{_{\text{IE}}} & + &\underbrace{i\ f_{_{\text{IO}}}} \\
|Berkas:SquareWaveFourierArrows%2Crotated-id.gif
}}
==Definisi==
Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, <math>s(x)</math>, yaitu [[integral Riemann|integrable]] pada interval panjang <math>P</math>, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:
:<math>x \in [0,1],</math> dan <math>P=1.</math>
:<math>x \in [-\pi,\pi],</math> dan <math>P=2\pi.</math>
'''Analisis''' proses menentukan bobot, diindeks dengan integer <math>n</math>, yang merupakan jumlah siklus nilai <math>n^\text{th}</math> harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan <math>x</math>, ialah <math>P/n</math>. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah <math>n/P</math>. <math>n^{th}</math> harmonik nilai <math>\sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math> dan <math>\cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math>, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang <math>P</math>:<ref>{{cite book | last1 = Dorf| first1 = Richard C. | first2 = Ronald J. | last2 = Tallarida | title =Buku Saku Rumus Teknik Elektro | url = https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf| publisher =CRC Press | edition =1 | date =1993-07-15 | location =Boca Raton,FL | pages =[https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf/page/171 171]–174 | isbn =0849344735 }}</ref>
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Koefisien Fourier'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
a_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot \cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx\\
b_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot \sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx.
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
:*Jika nilai <math>s(x)</math> ialah nilai <math>P</math> dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
:*Nilai <math>a_0</math> dan <math>b_0</math> dapat direduksi menjadi nilai <math>a_0 = \frac{2}{P} \int_P s(x) \, dx</math> dan <math>b_0 = 0</math>.
:*Banyaknya teks memilih nilai <math>P=2\pi</math> untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.
Proses '''sintesis''' (Deret Fourier sebenarnya) adalah:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
s_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(a_n \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + b_n \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P} \right) \right).
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Secara umum, integer pada nilai <math>N</math> secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama <math>s(x)</math> di semua nilai <math>x</math> (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.
[[Berkas:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|Jika <math>s(t)</math> adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang <math>P</math> (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak (<math>A_n</math>) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari <math>s(t).</math> Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik <math>s(t),</math> sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis <math>s(t).</math>]]
Menggunakan identitas trigonometri:
:<math>A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right) \ \equiv \ \underbrace{A_n \cos(\varphi_n)}_{a_n}\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + \underbrace{A_n \sin(\varphi_n)}_{b_n}\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right),</math>
dan definisi nilai <math>A_n \triangleq \sqrt{a_n^2+b_n^2}</math> dan <math>\varphi_n \triangleq \operatorname{arctan2}(b_n,a_n)</math>,
pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk fase amplitudo'''
|equation = {{NumBlk||<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right).</math>|{{EquationRef|Eq.3}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks <math>s(x)</math> (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan [[rumus Euler]] untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, [[konjugasi kompleks]] dilambangkan dengan tanda bintang:
:<math>
\begin{array}{lll}
\cos\left( \tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right) &{}\equiv \tfrac{1}{2}e^{ i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)} & {} + \tfrac{1}{2}e^{-i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)}\\
&=\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right) \cdot e^{i \tfrac{2\pi (+n)x}{P}} &{}+\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right)^* \cdot e^{i \tfrac{2\pi (-n)x}{P}}.
\end{array}
</math>
Oleh karena itu, dengan definisi:
:<math>c_n \triangleq \left\{
\begin{array}{lll}
A_0/2 &= a_0/2, \quad & n = 0\\
\tfrac{A_n}{2} e^{-i \varphi_n} &= \tfrac{1}{2}(a_n -i b_n), \quad & n > 0\\
c_{|n|}^*, \quad && n < 0
\end{array}\right\}\quad =\quad \frac{1}{P}\int_P s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,
</math>
hasil akhirnya adalah:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk eksponensial'''
|equation = {{NumBlk||<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>|{{EquationRef|Eq.4}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
===Konvergensi===
{{main|Konvergensi Deret Fourier}}
Dalam aplikasi [[rekayasa]], deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika <math>s</math> kontinu dan turunan dari <math>s(x)</math> (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier <math>s</math> menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai <math>s(x)</math>.<ref>{{cite book |title=Deret Fourier |first=Georgi P. |last=Tolstov |publisher=Courier-Dover |year=1976 |isbn=0-486-63317-9 |url=https://books.google.com/?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function}}</ref> Jika suatu fungsi adalah [[Fungsi terintegrasi persegi|integral-persegi]] pada interval <math>[x_0,x_0+P]</math>, kemudian deret Fourier [[Teorema Carleson|menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik]]. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu [[Kondisi dirichlet|Kondisi dirichlet untuk deret Fourier]]. Lihat [[Konvergensi seri Fourier]]. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau [[Konvergensi lemah (ruang Hilbert)|konvergensi lemah]] biasanya berupa inte.
<gallery widths="256" heights="256">
Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif|link={{filepath:Fourier_series_square_wave_circle_animation.svg}}|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang persegi meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_square_wave_circle_animation.svg}} (animasi)]
Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif|link={{filepath:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg}}|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang gigi gergaji meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg}} (animasi)]
Example_of_Fourier_Convergence.gif |Contoh konvergensi ke fungsi yang agak sewenang-wenang. Perhatikan perkembangan "dering" (fenomena Gibbs) pada transisi ke / dari bagian vertikal.
</gallery>
Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 lihat.]
----------------------------------
== Konvergen ==
=== Teorema<ref>Hendra Gunawan, ''Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet'', 2014</ref> ===
Misalkan <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> adalah fungsi yang periodik dengan periode <math>2\pi</math>, kontinu dan mulus bagian demi bagian.
Maka, deret Fourier dari <math>f</math> konvergen mutlak dan secara seragam pada <math>\mathbb{R}</math>.
== Referensi ==
== Pranala luar ==
* [http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140715225944/http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html |date=2014-07-15 }}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
| 