Deret harmonik (matematika): Perbedaan antara revisi

dimana <math>s_n</math> adalah [[Independensi statistik|independen]], variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> dengan propabilitas sama dengan <math>\frac 1 2</math>, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas [[Hampir pasti|dengan probabilitas 1]]. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari [[teorema tiga deret Kolmogorov]] atau dari [[Pertidaksamaan Kolmogorov|pertidaksamaan maksimal Kolmogorov]] yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas Alberta lebih lanjut<ref>{{cite journal|last=Schmuland|first=Byron|date=May 2003|title=Random Harmonic Series|url=http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|journal=American Mathematical Monthly|volume=110|issue=5|pages=407–416|doi=10.2307/3647827|jstor=3647827|access-date=2020-11-25|archive-date=2011-06-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20110608070922/http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|dead-url=yes}}</ref> memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah [[variabel acak]] dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, [[fungsi kepekatan probabilitas]] dari variabel acak ini dievalusi pada <math>+2</math> atau pada <math>-2</math> mengambil nilai <math>0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots</math>, berbeda dari <math>\frac 1 8</math> kurang dari <math>10^{-42}</math>. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, <math>\frac 1 8</math>. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga <math>C_2</math><ref>{{MathWorld|title=Infinite Cosine Product Integral|id=InfiniteCosineProductIntegral|access-date=November 9, 2020}}</ref> dibagi oleh <math>\pi</math>.