Nilai absolut: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''nilai absolut''' (juga dikenal dengan '''nilai mutlak''' atau '''modulus''') dari suatu [[bilangan riil|bilangan real]] <math>x </math>, ditulis sebagai <math>|x|</math>, adalah nilai dari <math>x</math> tanpa disertai [[Tanda (matematika)|tanda]]. Dengan kata lain, <math>|x|=x</math> jika <math>x</math> adalah [[bilangan positif]] atau [[nol]] dan <math>|x|=-x</math> jika <math>x</math> adalah [[Tanda (matematika)|bilangan negatif]] (sehingga <math>-x</math> bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari <math>3</math> adalah <math>|3|=3</math>, dan nilai mutlak dari <math>-3</math> juga adalah <math>|-3|=-(-3)=3</math>. Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai [[jarak]] suatu bilangan dari bilangan <math>0</math>.

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan real muncul pada banyak [[objek]] matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada [[bilangan kompleks]], [[Kuaternion|kuartenion]], [[gelanggang terurut]], [[Medan (matematika)|lapangan]], dan [[ruang vektor]]. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi [[Besaran (matematika)|besaran]], [[jarak]], dan [[Norma (matematika)|norma]] dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

Pada tahun 1806, [[Jean-Robert Argand]] memperkenalkan istilah ''module'', yang berarti ''satuan pengukuran'' dalam bahasa [[Prancis]], khususnya untuk nilai mutlak [[bilangan kompleks]],<ref name=oed>[[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref><ref>[http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], and [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]; for the French sense, see [[Dictionnaire de la langue française (Littré)|Littré]], 1877</ref> dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai ''modulus''.<ref name=oed /> Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancis<ref>[[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Nicolas M. Carnot]], ''Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace'', p.&nbsp;105 [http://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105 at Google Books]</ref> dan 1857 di [[Inggris]].<ref>James Mill Peirce, ''A Text-book of Analytic Geometry'' [http://books.google.com/books?id=RJALAAAAYAAJ&pg=PA42 at Google Books]. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".</ref> Penulisan <math>|x|</math>, dengan simbol [[garis vertikal]] di kedua [[sisi]], diperkenalkan oleh [[Karl Weierstrass]] tahun 1841.<ref>Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p.&nbsp;25</ref>

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada [[Himpunan (matematika)|himpunan]], itu menandakan [[kardinalitas]]nya; jika digunakan pada [[Matriks (matematika)|matriks]], itu menandakan [[determinan]]nya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki [[definisi]] nilai mutlak, seperti [[bilangan riil|bilangan real]], [[bilangan kompleks]], atau [[kuaternion]]. Penulisan yang mirip namun berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk [[Ruang Euklides|norma Euklidean]]<ref>{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|date=1965|url=https://www.worldcat.org/oclc/187146|title=Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus|location=New York|isbn=0-8053-9021-9|oclc=187146}}</ref> atau ''sup norm''<ref>{{Cite book|last=Munkres|first=James R.|date=1991|url=https://www.worldcat.org/oclc/170966279|title=Analysis on manifolds|location=Redwood City, Calif.|publisher=Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program|isbn=978-1-4294-8504-3|oclc=170966279}}</ref> di <math>\mathbb{R}^n</math>, walau penulisan garis vertikal ganda (<math>||\cdot||_2</math> dan <math>||\cdot||_\infty</math>) lebih umum dan tidak ambigu.