Pi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Wagino Bot (bicara | kontrib) k →Zaman pendekatan poligon: Bot: Merapikan artikel |
Lintangsore (bicara | kontrib) Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
Baris 1:
[[Berkas:Pi-CM.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]{{Pi (konstanta matematika)}}
Bilangan '''{{pi}}''' (kadang-kadang ditulis '''pi''') adalah sebuah [[konstanta]] dalam [[matematika]] yang merupakan perbandingan keliling [[lingkaran]] dengan [[diameter]]nya. Nilai {{pi}} dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam [[matematika]], sains, dan [[teknik]] yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari [[konstanta matematika]] yang penting. {{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian [[bilangan bulat]] (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan {{pi}}; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai yang sama persis dengan {{pi}}.) Oleh karena itu pula, [[representasi desimal]] {{pi}} tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal {{pi}} tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. {{pi}} adalah [[bilangan transenden]]tal, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi {{pi}} memiliki implikasi pada ketidakmungkinan teka-teki matematika kuno "[[mengkuardatkan lingkaran|mengkuadratkan lingkaran]] dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapat dipecahkan.
Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan {{pi}}. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan {{pi}} hingga keakurasian yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti [[Archimedes]] dan [[Liu Hui]] menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai {{pi}}. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada [[deret tak terhingga]] merevolusi perhitungan nilai {{pi}}. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti [[Madhava dari Sangamagrama]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]], [[Carl Friedrich Gauss]], dan [[Srinivasa Ramanujan]].
Baris 23:
{{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Karena {{pi}} irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa {{pi}} irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik ''[[reductio ad absurdum]]''. Sejauh mana bilangan {{pi}} dapat didekati menggunakan [[bilangan rasional]] tidaklah diketahui.<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S }}</ref>
[[Berkas:Squaring the circle.svg|jmpl|alt=Diagram sebuah persegi dan lingkaran, keduanya dengan area identik; panjang sisi persegi adalah akar dari pi|Karena {{pi}} adalan [[bilangan transendental]], [[Mempersegikan lingkaran|Pemersegian lingkaran]] tidaklah dimungkinkan menggunakan [[jangka dan penggaris]].]]
{{pi}} adalah [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari [[polinom]] non-konstan berkoefisien [[rasional]] manapun seperti <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|accessdate=4 November 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Transendensi {{pi}} mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, {{pi}} tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan [[akar kuadrat]] ataupun [[Akar ke-n|akar pangkat ke-n]] manapun seperti <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> atau <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "[[mempersegikan lingkaran]]". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman [[era klasik]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}</ref><ref>{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>
Digit-digit {{pi}} tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji [[keacakan statistis]] meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.<ref name="random" /> Hipotesis bahwa {{pi}} adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref> Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit {{pi}} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah menganalisis secara detail digit-digit desimal {{pi}} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Walaupun digit-digit {{pi}} telah melewati uji keacakan statistik, {{pi}} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya [[titik Feynman]], yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>
Baris 232:
* Luas lingkaran dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \pi r^2</math>
* Volume bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \tfrac43\pi r^3</math>
* [[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 4 \pi r^2</math>
{{pi}} muncul dalam [[integral|integral tertentu]] yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:<ref name="udi">{{MathWorld|Semicircle|Semicircle}}</ref>
| |||