Determinan: Perbedaan antara revisi

</math>Hal ini mengartikan {{math|''A''}} memetakan [[kubus]] dimensi-{{math|''n''}} menjadi [[balok jajar genjang]] dimensi-{{math|''n''}} dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> dengan domain <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>Nilai determinan menyatakan volume dimensi-{{math|''n''}} bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-{{math|''n''}} akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh {{math|''A''}}.<ref>{{cite web|title=Determinants and Volumes|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|website=textbooks.math.gatech.edu|access-date=16 March 2018}}</ref> (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (''preserve'') orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-{{math|''n''}} sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan {{math|''A''}} kurang dari {{math|''n''}}. Hal ini (menggunakan [[teorema rank-nolitas]]) menunjukkan transformasi {{math|''A''}} tidak bersifat [[Fungsi surjektif|surjektif]] maupun [[Bijeksi|bijektif]], sehingga tidak terbalikkan (invertibel).

Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati [[Gottfried Leibniz]], menyatakan determinan dari matriks persegi <math>A</math> sebagai [[permutasi]] dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu [[fungsi multilinear]] ''alternating'' <math>F(A)</math> terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi <math>F(I)=1</math> dengan <math>I</math> adalah [[matriks identitas]].<ref>[[Serge Lang]], '' Linear Algebra '', 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.</ref> Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai<math display="block">\det(A) = F(A) = \sum_{\tau \in S_n} \text{sgn}(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i\tau(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)i}</math>dengan <math>\text{sgn}</math> adalah [[fungsi tanda]] (signum) dari permutasi dalam [[grup permutasi]] <math>S_n</math>, yang menghasilkan nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> masing-masing untuk [[Paritas dari permutasi|permutasi genap dan ganjil]]. Fungsi multilinear ''alternating'' dan sifat <math>F(I)=1</math> dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian [[Determinan#Matriks persegi dimensdimensi 2|§ Matriks persegi dimensi 2]]).