Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881), [en:Adjugate_matrix] (oldid 1182607693); lihat sejarahnya untuk atribusi. Memindahkan rumus Laplace dari aplikasi menjadi bentuk lain dari definisi determinan. |
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 85:
\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right).</math>Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan [[Matriks terbalikkan|invers dari matriks]]. Matriks adjugat <math>\operatorname{adj}(A)</math> didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis <math display="block">(\operatorname{adj}(A))_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{ji}.</math>Definisi ini memastikan perkalian matriks <math>A</math> dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan [[matriks diagonal]] yang elemen [[Diagonal utama|diagonal utamanya]] bernilai <math>\det(A)</math>.<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.2}}.</ref> Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai <math>A\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A = (\det A) I,</math> dengan <math>I</math> merupakan [[matriks identitas]]. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni <math>A</math> memiliki invers [[jika dan hanya jika]] <math>\det(A)</math> tidak bernilai <math>0</math>. Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan <math>A^{-1}</math> dari kanan) sehingga <math display="block">\begin{align} \operatorname{adj}(A) &= \det(A) A^{-1}, \\ A^{-1} &= \det(A)^{-1} \operatorname{adj}(A). \end{align}</math>
== Sifat-sifat determinan ==
Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks <math>A</math> berukuran <math>n\times n</math> sebagai [[rangkap]]-<math>n</math> dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi, <math>A = \big( \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n \big),</math> dengan <math>\mathbf{a}_i</math> adalah vektor di kolom ke-<math>i</math> matriks.
# <math>\det\left(I\right) = 1</math>, dengan <math>I</math> adalah [[matriks identitas]].
# Determinan merupakan [[Peta multilinear|pemetaan multilinear]]: jika kolom ke-<math>j</math> matriks <math>A</math> dapat ditulis sebagai [[kombinasi linear]] <math>\mathbf{a}_j = r \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}</math> dari dua vektor kolom <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{w}</math> dan skalar <math>r</math>, maka determinan dari <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear: <math display="block">\begin{align}|A|
&= \big | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_{j-1}, r \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}, \mathbf{a}_{j+1}, \dots, \mathbf{a}_n | \\
&= r \cdot | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots \mathbf{a}_n | + | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n |
\end{align}</math>
# Determinan bersifat ''alternating'': ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan <math>0</math>; secara matematis <math>| \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n| = 0.</math>
Ketiga sifat tersebut mengakibatkan beberapa sifat turunan:
* Determinan termasuk fungsi homogen, yakni, <math>\det(cA) = c^n\det(A)</math>
* Menukar dua kolom pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan <math>-1</math>: <math display="block">|\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_j, \dots \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_n| = - |\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_n|.</math>Rumus di atas dapat diterapkan secara iteratif jika ada beberapa kolom yang ingin ditukar. Sebagai contoh <math display="block">|\mathbf{a}_3, \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4 \dots, \mathbf{a}_n| = - |\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4, \dots, \mathbf{a}_n| = |\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4, \dots, \mathbf{a}_n|.</math>Lebih umum lagi, sebarang permutasi kolom-kolom akan mengalikan determinan dengan [[Paritas dari permutasi|tanda dari permutasi]] tersebut.
* Jika ada kolom pada matriks yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya (dengan kata lain kolom-kolom matriks saling [[Kebebasan linear|bergantung linear]]), determinan matriks tersebut sama dengan <math>0</math>. Salah satu contoh kasus ini adalah ketika ada kolom yang semua elemennya bernilai <math>0</math>.
* Jika suatu kelipatan skalar suatu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, determinan dari matriks yang dihasilkan tidak berubah.
* Jika <math>A</math> adalah matriks segitiga, yakni yang semua elemen <math>a_{ij}=0</math> ketika <math>i>j</math> (atau alternatif lain, ketika <math>i<j</math>), maka determinannya sama dengan hasil perkalian dari elemen-elemen [[diagonal utama|diagonal utamanya]], <math display="block">\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii}.</math>
=== Contoh ===
Selain penting dari aspek teoritis, ketiga sifat utama dan sifat-sifat turunan dari matriks dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan nilai determinan. Sebagai contoh, metode [[eliminasi Gauss]] dapat diterapkan untuk mengubah matriks ke bentuk [[Matriks segitiga|matriks segitiga atas]], dalam langkah-langkah yang teratur. Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung determinan matriks <math>A</math> dengan metode tersebut:<math display="block">A = \begin{bmatrix}
-2 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
-3 & 3 & -1
\end{bmatrix}.</math>
{| class="wikitable"
|+Perhitungan determinan dari matriks <math>A</math>
|Matriks
|<math>B = \begin{bmatrix}
-3 & -1 & 2 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>C = \begin{bmatrix}
-3 & 5 & 2 \\
3 & 13 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>D = \begin{bmatrix}
5 & -3 & 2 \\
13 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>E = \begin{bmatrix}
18 & -3 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|-
|Dihasilkan dari
|menambahkan kolom kedua ke yang pertama
|menambahkan 3 kali kolom ketiga ke yang kedua
|menukar dua kolom pertama
|menambahkan <math>-\tfrac{13}{3}</math> kali kolom kedua ke yang pertama
|-
|Determinan
| $ |<math>|A| = |B|</math>
| $ |<math>|B| = |C|</math>
| $ |<math>|D| = -|C|</math>
| $ |<math>|E| = |D|</math>
|}
Menggabungkan semua persamaan ini menghasilkan <math>|A| = -|E| = -(18 \cdot 3 \cdot (-1)) = 54.</math>
=== Transpos ===
Determinan dari [[transpos]] matriks <math>A</math> sama dengan determinan dari <math>A</math>: <math display="block">\det\left(A^\textsf{T}\right) = \det(A) .</math>Hubungan ini dapat ditunjukan dengan menginspeksi rumus Leibniz.<ref>{{harvnb|Lang|1987|loc=§VI.7, Theorem 7.5}}</ref> Hal ini mengakibatkan semua penggunaan kata "kolom" pada semua sifat-sifat sebelumnya, dapat digantikan dengan kata "baris". Sebagai contoh, menukar dua baris pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan <math>-1</math>.
=== Multiplikativitas dan grup matriks ===
Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut. <ref>{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§III.8, Proposition 1}} menunjukkan cara lain membuktikan hubungan ini dengan menggunakan fungtor|functorialitas dari ''exterior power''.</ref> [[Rumus Cauchy–Binet]] adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).
Matriks <math>A</math> dengan elemen-elemen berasal dari sebuah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], dapat [[Matriks terbalikkan|dibalikkan]] (invertibel, memiliki invers) [[jika dan hanya jika]] determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah <math display="block">\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}.</math>Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran <math>n</math> atas suatu lapangan <math>K</math>) membentuk sebuah [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}_n(K)</math>; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai <math>1</math>, membentuk sebuah subgrup bernama [[grup linear khusus]] <math>\operatorname{SL}_n(K) \subset \operatorname{GL}_n(K)</math>. Umumnya, kata "khusus" ("''special''") digunakan untuk menandakan [[subgrup]] dari grup matriks dengan determinan bernilai <math>1</math>. Contoh lainnya adalah [[grup ortogonal khusus]] (yang berisi semua [[matriks rotasi]] ketika <math>n=2</math> dan <math>n=3</math>), dan [[grup uniter khusus]].
=== Matriks blok ===
Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat faktorisasi dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.
Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika <math>C</math> dan <math>D</math> komutatif (artinya <math>CD=DC</math>), maka<ref>{{Cite journal|last=Silvester|first=J. R.|year=2000|title=Determinants of Block Matrices|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|journal=Math. Gaz.|volume=84|issue=501|pages=460–467|doi=10.2307/3620776|jstor=3620776|s2cid=41879675}}</ref> <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math>Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari <math>2 \times 2</math> submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|date=January 2017|title=Determinants of block matrices with noncommuting blocks|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=512|pages=202–218|arxiv=1805.06027|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|s2cid=119272194}}</ref>
== Catatan ==
<references responsive="" />
== Referensi ==
| |||