Determinan: Perbedaan antara revisi

</math>Hal ini mengartikan {{math|''A''}} memetakan [[kubus]] dimensi-{{math|''n''}} menjadi [[balok jajar genjang]] dimensi-{{math|''n''}} dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> dengan domain <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>Nilai determinan menyatakan volume dimensi-{{math|''n''}} bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-{{math|''n''}} akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh {{math|''A''}}.<ref>{{Cite web|title=Determinants and Volumes|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|website=textbooks.math.gatech.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20230704002655/https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|archive-date=2023-07-04|access-date=2023-11-27}}</ref> (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (''preserve'') orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-{{math|''n''}} sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan {{math|''A''}} kurang dari {{math|''n''}}. Hal ini (menggunakan [[teorema rank-nolitas]]) menunjukkan transformasi {{math|''A''}} tidak bersifat [[Fungsi surjektif|surjektif]] maupun [[Bijeksi|bijektif]], sehingga tidak [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]] (invertibel).

Perkembangan besar selanjutnya dibuat oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pada tahun 1801. Seperti Lagrange, ia banyak menggunakan determinan dalam [[teori bilangan]]. Ia juga memperkenalkan istilah "''determinant''" (Laplace menggunakan istilah "''resultant''"), walau tidak dapatdalam pemahaman modern, namunmelainkan sebagai [[diskriminan]] dari [[polinomial homogen]].<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|loc=§5.2}}</ref> Gauss juga mengembangkan konsep kebalikan (invers) dari determinan.

Selanjutnya pada tahun 1811-1812, [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] menyatakan secara formal teorema terkait perkalian dua matriks dengan <math>m</math> kolom dan <math>n</math> baris, yang pada kasus khusus <math>m=n=1</math> tereduksi menjadi teorema perkalian bilangan. Pada hari yang sama (30 November 1812) Binet mempresentasikan karyanya ke Akademi, [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] juga mempresentasikan karyanyakarya dengan topik serupa. (lihat [[rumus Cauchy–Binet]].) Dalam karya ini Cauchy menggunakan istilah "determinan" dalam pengertian modern saat ini,<ref>Penggunaan istilah "determinan" dalam sudut pandang modern muncul di Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variables qu'elles renferment," yang pertama kali dibacakan di ''Institute de France'' di Paris pada 30 November 1812, dan selanjutnya dipublikasikan dalam ''Journal de l'Ecole Polytechnique'', Cahier 17, Tome 10, pages 29–112 (1815).</ref><ref>{{Cite web|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D)|url=https://jeff560.tripod.com/d.html|website=jeff560.tripod.com|access-date=2023-11-27}}</ref> merangkum dan menyederhanakan hal-hal yang telah diketahui, memperbaiki notasi, dan memberikan bukti teorema perkalian yang lebih memuaskan ketimbang Binet.<ref name="Campbell" /><ref>{{Cite web|title=Matrices and determinants|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/|website=Maths History|language=en|access-date=2023-11-27}}</ref> Hal ini yang memulai teori terkait determinan secara umum.

Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni [[nilai eigen]] dan [[polinomial karakteristik]] dari matriks. Misalkan <math>A</math> adalah matriks ukuran <math>n \times n</math> dengan elemen berupa [[bilangan kompleks]]. Dengan menggunakan [[teorema dasar aljabar]], disimpulkan <math>A</math> pasti memiliki tepat <math>n</math> nilai eigen <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> (dalam konteks ini, nilai eigen dengan [[Nilai dan vektor eigen#Kegandaan aljabar|kegandaan aljabar]] <math>\mu</math> muncul <math>\mu</math> kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari <math>A</math> ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini,<math display="block">\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks <math>A</math> memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika <math>0</math> bukan nilai eigen dari <math>A</math>. Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VIII.2}}, {{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=Def. 1.2.3}}</ref><math display="block">\chi_A(t) = \det(t \cdot I - A),</math>dengan <math>t</math> merupakan variabel (lebih tepatnya ''indeterminate'') dari polinomial, dan <math>I</math> adalah matriks identitas berukuran sama dengan <math>A</math>. Polinomial ini selanjut memiliki [[Akar fungsi|akar]] berupa nilai-nilai eigen dari <math>A</math>; yakni bilangan-bilangan kompleks <math>\lambda</math> yang memenuhi <math>\chi_A(\lambda) = 0.</math>

Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu <math>\operatorname O(n^3)</math>, yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti dekomposisi [[Dekomposisi LU|LU]], [[Dekomposisi QR|QR]], danmaupun [[Penguraian nilai singular|SVD]].<ref>{{harvnb|Habgood|Arel|2012}}</ref>