Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz: Perbedaan antara revisi

[[Pertidaksamaan Sadrayakan|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].

Dalam [[ruang Euklides]] <math>\mathbb R ^n</math> dengan hasil kali dalam standar, yaitu [[Darab bintik|hasil kali bintik]], pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai<math display="block">\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)</math>Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan [[aljabar elementer]]. Misalkan [[polinomial kuadrat]] di <math>x</math> di bawah berikut adalah:<math display="block">0 \leq (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \left( \sum u_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum u_i v_i \right) x + \sum v_i^2.</math>Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk <math>x,</math> sebab nilainya tak negatif. Karena itu, [[diskriminan]] dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,<math display="block">\left(\sum_i u_i v_i\right)^2 - \left(\sum_i {u_i^2}\right) \left(\sum_i {v_i^2}\right) \leq 0,</math>