Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
k ~cite |
||
Baris 165:
=== Multiplikativitas dan grup matriks ===
Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut.
Matriks <math>A</math> dengan elemen-elemen berasal dari sebuah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], dapat [[Matriks terbalikkan|dibalikkan]] (invertibel, memiliki invers) [[jika dan hanya jika]] determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah <math display="block">\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}.</math>Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran <math>n</math> atas suatu lapangan <math>K</math>) membentuk sebuah [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}_n(K)</math>; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai <math>1</math>, membentuk sebuah subgrup bernama [[grup linear khusus]] <math>\operatorname{SL}_n(K) \subset \operatorname{GL}_n(K)</math>. Umumnya, kata "khusus" ("''special''") digunakan untuk menandakan [[subgrup]] dari grup matriks dengan determinan bernilai <math>1</math>. Contoh lainnya adalah [[grup ortogonal khusus]] (yang berisi semua [[matriks rotasi]] ketika <math>n=2</math> dan <math>n=3</math>), dan [[grup uniter khusus]].
| |||