Pengguna:HEWormsandApples/Bak pasir/Biru: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 60:
metode seperti itu juga harus menjumlahkan [[deret Grandi]] sebagai {{nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + ... = {{frac|1|2}}.}}{{sfn|Hardy|1949|p=6}}
===Produk Cauchy===
Pada tahun 1891, Ernesto Cesàro mengungkapkan harapannya bahwa deret divergen akan dimasukkan ke dalam [[kalkulus]] dengan tegas, dengan menyatakan, "Kita sudah menulis {{nowrap|1=(1 − 1 + 1 − 1 + ...)<sup>2</sup> = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dan menegaskan bahwa kedua sisinya sama dengan {{frac|1|4}}."{{sfn|Ferraro|1999|p=130}} Bagi Cesàro, persamaan ini merupakan penerapan dari teorema yang telah diterbitkannya tahun sebelumnya, yang merupakan teorema pertama dalam sejarah deret divergen yang dapat dijumlahkan.{{sfn|Hardy|1949|p=8}} Detail metode penjumlahannya ada di [[#Cesàro and Hölder|bawah]]; ide utamanya adalah {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah hasil kali Cauchy (konvolusi diskrit) dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} dengan {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}.
Baris 125:
Penjumlahan Euler juga menyiratkan penjumlahan Borel, dengan nilai penjumlahan yang sama, seperti pada umumnya.{{sfn|Shawyer|Watson|1994|p=32}}
===Pemisahan timbangan===
Saichev dan Woyczyński sampai pada {{nowrap|1=1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} dengan hanya menerapkan dua prinsip fisik: ''relaksasi yang sangat kecil'' dan ''pemisahan timbangan''. Tepatnya, prinsip-prinsip ini mengarahkan mereka untuk mendefinisikan kelompok besar "metode penjumlahan φ", yang semuanya menjumlahkan rangkaiannya menjadi {{frac|1|4}}:
*Jika φ(''x'') adalah suatu fungsi yang turunan pertama dan kedua kontinu dan dapat diintegralkan pada (0, ∞), sehingga φ(0) = 1 dan limit dari φ(''x'') dan ''x''φ(''x'') di +∞ keduanya adalah 0, lalu{{sfn|Saichev|Woyczyński|1996|pp=260–264}} <math display=block>\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>
Hasil ini menggeneralisasi penjumlahan Abel, yang diperoleh dengan membiarkan φ(''x'') = exp(−''x''). Pernyataan umum dapat dibuktikan dengan memasangkan suku-suku dalam deret tersebut pada ''m'' dan mengubah persamaan tersebut menjadi [[integral Riemann]]. Untuk langkah terakhir, pembuktian yang sesuai untuk {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} menerapkan [[teorema nilai purata]], tetapi di sini diperlukan bentuk [[teorema Taylor]] Lagrange yang lebih kuat.
==Generalisasi ==
[[File:Pm1234 Euler1755 I-V.png|thumb|Kutipan dari hal. 233 dari ''E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum''. Euler menjumlahkan deret serupa, {{Circa|1755}}.]]
Hasil kali Cauchy rangkap tiga dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} adalah {{nowrap|1 − 3 + 6 − 10 + ...,}} deret [[bilangan segitiga]] berselang-seling; jumlah Abel dan Eulernya adalah {{frac|1|8}}.{{sfn|Kline|1983|p=313}} Hasil kali Cauchy empat kali lipat dari {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} adalah {{nowrap|1 − 4 + 10 − 20 + ...,}} deret bilangan tetrahedral yang berselang-seling, yang jumlah Abelnya adalah {{frac|1|16}}.
Generalisasi lain dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... dalam arah yang sedikit berbeda adalah deret {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}} untuk nilai ''n'' lainnya. Untuk bilangan bulat positif ''n'', deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut:{{sfnm
| 1a1 = Hardy | 1y = 1949| 1p = 3
| 2a1 = Knopp | 2y = 1990 | 2p = 491
}}
<math display=block>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}</math>
dimana ''B''<sub>''n''</sub> adalah bilangan Bernoulli. Bahkan untuk ''n'', ini direduksi menjadi
<math display=block>1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0,</math>
yang dapat diartikan menyatakan bahwa nilai genap negatif dari [[fungsi zeta Riemann]] adalah nol. Jumlah ini menjadi bahan ejekan khusus oleh [[Niels Henrik Abel]] pada tahun 1826:
{{blockquote|1=Seri divergen sepenuhnya merupakan pekerjaan iblis, dan sayang sekali jika ada yang berani menemukan bukti apa pun mengenainya. Seseorang dapat memperoleh apa yang diinginkannya jika ia menggunakannya, dan hal-hal itulah yang telah menciptakan begitu banyak ketidakbahagiaan dan begitu banyak paradoks. Adakah yang bisa memikirkan hal yang lebih mengerikan daripada mengatakan hal itu
{{Block indent|left=1.6|1=0 = 1 − 2<sup>''2n''</sup> + 3<sup>''2n''</sup> − 4<sup>''2n''</sup> + etc.}}
dimana n adalah bilangan positif. Ini sesuatu untuk ditertawakan, teman-teman.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|1970|p=80}}. Lihat {{harvnb|Markusevič|1967|p=48}}, untuk terjemahan berbeda dari [[bahasa Prancis]] asli; nadanya tetap sama.</ref>}}
Guru Cesàro, [[Eugène Charles Catalan]], juga meremehkan deret divergen. Di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}} sebagai "persamaan yang tidak masuk akal", dan pada tahun 1883 Cesàro mengungkapkan pandangan umum pada saat itu bahwa rumus tersebut salah tetapi tetap saja entah bagaimana berguna secara formal. Terakhir, dalam ''Sur la multiplication des séries'' tahun 1890, Cesàro mengambil pendekatan modern yang dimulai dari definisi.{{sfn|Ferraro|1999|pp=120–128}}
Deret tersebut juga dipelajari untuk nilai non-integer ''n''; ini membentuk [[fungsi eta Dirichlet]]. Bagian dari motivasi Euler mempelajari deret yang berkaitan dengan {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} adalah [[persamaan fungsional]] fungsi eta, yang mengarah langsung ke persamaan fungsional [[fungsi zeta Riemann]]. Euler telah menjadi terkenal karena menemukan nilai-nilai fungsi ini pada [[Paritas (matematika)|bilangan bulat genap]] positif (termasuk masalah Basel), dan dia juga mencoba menemukan nilai-nilai pada [[Paritas (matematika)|bilangan bulat ganjil]] positif (termasuk [[konstanta Apéry]]), sebuah masalah yang masih sulit dipahami hingga saat ini. Fungsi eta khususnya lebih mudah ditangani dengan metode Euler karena deret Dirichletnya dapat dijumlahkan Abel di mana saja; deret Dirichlet fungsi zeta jauh lebih sulit untuk dijumlahkan jika ia menyimpang.{{sfn|Euler|Willis|Osler|2006|pp=20–25}} Misalnya, pasangan dari {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} dalam fungsi zeta adalah deret tak bolak-balik {{nowrap|[[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]}}, yang memiliki penerapan mendalam dalam [[fisika]] modern namun membutuhkan lebih banyak kekuatan metode untuk menjumlahkan.
== Lihat juga ==
| |||