Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k →Catatan kaki: subbagian baru |
|||
Baris 46:
== Pembuktian ==
Di sini akan dibuktikan teorema yang sudah digeneralisasi.
Gagasan dasarnya adalah bahwa bila ''f''(''a'') = ''f''(''b''), maka ''f'' mestilah mencapai maksimum atau minimum di suatu titik antara ''a'' dan ''b''. Sebutlah titik ini ''c''. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naik menjadi turun (atau sebaliknya) pada ''c''. Khususnya, bila turunannya ada, nilainya mestilah nol pada ''c''.
Dari asumsi, diketahui ''f'' kontinu pada [''a'',''b''] dan menurut [[teorema nilai ekstrem]] mencapai baik maksimum maupun minimumnya dalam [''a'',''b'']. Bila keduanya dicapai pada titik batas [''a'',''b''] maka ''f'' adalah fungsi konstan pada [''a'',''b''] dan turunannya adalah nol pada setiap titik pada (''a'',''b'').
Misalkan bila maksimum diperoleh pada titik dalam ''c'' pada selang (''a'', ''b'') (argumen untuk nilai minimum mirip, perhatikan −''f ''). Kita akan memeriksa limit kanan dan kiri secara terpisah.
Untuk ''h'' riil sedemikian sehingga ''c'' + ''h'' adalah dalam [''a'',''b''], nilai ''f''(''c'') karena ''f'' mencapai maksimumnya pada ''c''. Karena itu, untuk setiap ''h'' > 0,
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
sehingga
:<math>f'(c+):=\lim_{h\searrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,</math>
di mana limit ada menurut asumsi, yang bisa saja bernilai minus tak terhingga
Dengan cara yang sama, untuk setiap ''h'' < 0, tanda pertidaksamaan berbalik karena penyebutnya negatif dan kita mendapatkan
:<math>\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
jadi
:<math>f'(c-):=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,</math>
sehingga limitnya bisa saja plus tak terhingga
Akhirnya, ketika limit kanan dan kiri di atas sama, (terutama bila ''f'' terdiferensialkan), maka turunan ''f'' di ''c'' haruslah nol.
== Catatan kaki ==
{{reflist}}
| |||