Integral: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Integral (oldid 1241837287); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Integral (oldid 1241837287); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 1:
{{Short description|Operasi dalam kalkulus}}
{{About|konsep integral tentu dalam kalkulus|integral taktentu|antiturunan|himpunan bilangan|bilangan bulat|Penggunaan lain|Integral (disambiguasi)}}
Baris 73:
Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann dari <math>f</math>, seseorang perlu mempartisi domain <math>[a,\,b]</math> sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai dari <math>f</math>."<ref>{{Harvnb|Folland|1999|pp=57–58}}.</ref> Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuah [[Ukuran (matematika)|ukuran]], <math>\mu</math>. Dalam kasus paling sederhana, [[ukuran Lebesgue]] <math>\mu(A)</math> dari selang <math>A = [a,\,b]</math> adalah lebarnya, <math>b-a</math>, sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada.<ref>{{Harvnb|Bourbaki|2004|p=IV.43}}.</ref> Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.
Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai dari <math>f</math>", integral dari sebuah fungsi non-negatif <math>f:\R\to\R</math> akan menyatakan penjumlahan terhadap <math>t</math>, dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antara <math>y=t</math> dan <math>y=t+dt</math>. Luas dari strip ini adalah <math>\mu(\{x:f(x)>t\})dt</math>. Misalkan <math>f^*(t) = \mu(\{x:f(x)>t\})</math>. Integral Lebesgue dari <math>f</math> selanjutnya didefinisikan sebagai<math display="block">\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk [[integral
Sebarang fungsi terukur <math>f</math> terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi <math>f</math> dan sumbu-<math>x</math> bernilai hingga; secara matematis:<ref>{{Harvnb|Folland|1999|p=53}}.</ref><math display="block">\int_E |f|\,d\mu < + \infty.</math>Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu-<math>x</math> dengan luas dibawah sumbu-<math>x</math>; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis:<ref name=":3">{{Harvnb|Rudin|1987|p=25}}.</ref><math display="block">\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu</math>dengan<math display="block">\begin{alignat}{3}
Baris 171:
=== Numerik ===
{{Main|
[[Berkas:Numerical_quadrature_4up.png|jmpl|Beberapa metode kuadratur numerik: metode persegi, metode jajargenjang, metode Romberg, dan kuadratur Gauss.|360x360px]]Nilai dari integral tentu dapat [[Penghampiran|dihampiri]] menggunakan beberapa metode [[integrasi numerik]]. [[Jumlah Riemann|Metode persegi panjang]] melakukan ini dengan membagi daerah dibawah fungsi menjadi suatu barisan persegi panjang yang bersesuian dengan nilai-nilai dari fungsi, lalu mengalikannya dengan lebar langkah (''step width'') dan menjumlahkannya untuk mendapatkan hasilnya. Nilai hampiran yang lebih baik adalah dengan menggunakan [[Aturan Trapesium Rekursif|aturan trapesium]], yang mengganti persegi panjang dengan trapesium.<ref>{{Harvnb|Dahlquist|Björck|2008|pp=519–520}}.</ref> Ide yang mendasar aturan trapesium, bangun yang lebih mirip dengan grafik akan menghasilkan taksiran integral yang lebih baik, dapat dikembangkan lebih lanjut: [[Kaidah Simpson|aturan Simpson]] menghampiri integran dengan potongan-potongan fungsi kuadratik.<ref>{{Harvnb|Dahlquist|Björck|2008|pp=522–524}}.</ref>
Jumlah Riemann, aturan trapesium, dan aturan Simpson adalah contoh dari kelompok aturan kuadratur yang disebut [[rumus Newton–Cotes]]. Rumus Newton–Cotes derajat <math>n</math> menghampiri kurva fungsi pada setiap subselang dengan sebuah [[polinomial]] derajat <math>n.</math> Polinomial tersebut dipilih sedemikian sehingga dapat menginterpolasi nilai-nilai fungsi pada selang integrasi.<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|p=144}}.</ref> Polinomial dengan derajat lebih tinggi dapat menghasilkan hampiran yang lebih akurat, tetapi juga memerlukan perhitungan fungsi yang lebih banyak, dan dapat mengalami ketakcermatan (''inaccuracy'') numerik akibat [[fenomena Runge]]. Salah satu solusi dari masalah tersebut adalah [[kuadratur Clenshaw–Curtis]], yang menghampiri integran dengan menjabarkannya dalam suku-suku berupa [[polinomial Chebyshev]].
[[Metode Romberg]] membagi lebar langkah menjadi setengahnya secara iteratif, pada setiap tahap menghasilkan hampiran trapesium <math>T(h_0),</math> <math>T(h_1),</math> dan seterusnya; dengan <math>h_{k+1} = \tfrac{1}{2} h_k.</math> Untuk setiap lebar langkah yang baru, hanya setengah dari nilai-nilai fungsi integran yang perlu dicari; sisanya menggunakan dari hasil perhitungan lebar langkah sebelumnya. Kemudian metode ini [[Interpolasi (matematika)|menginterpolasi]] sebuah polinomial berdasarkan hampiran-hampiran yang didapatkan, lalu mengekstrapolasi ke <math>T(0).</math> [[Kuadratur Gauss]] mengevaluasi integran di akar-akar dari suatu himpunan [[polinomial ortogonal]].<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|p=147}}.</ref> Metode Gauss <math>n</math>-titik tepat (''exact'') untuk polinomial sampai derajat <math>2n-1.</math>
Perhitungan integral dimensi tinggi (sebagai contoh, perhitungan volume) menggunakan alternatif lain seperti [[integrasi Monte Carlo]].<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|pp=139–140}}.</ref>
=== Mekanikal ===
Luas dari sebarang bangun dua dimensi dapat ditentukan menggunakan instrumen yang disebut [[planimeter]]. Volume dari objek yang tidak beraturan dapat diukur dengan teliti menggunakan banyaknya air yang dipindahkan ketika objek dicelupkan.
== Penerapan ==
Integral sering digunakan dalam banyak hal. Sebagai contoh, dalam [[teori peluang]], integral digunakan untuk menentukan peluang dari [[variabel acak]] berada di suatu rentang tertentu.<ref>{{Harvnb|Feller|1966|p=1}}.</ref> Lebih lanjut, integral dari keseluruhan [[Fungsi kepekatan probabilitas|fungsi kepadatan peluang]] harus bernilai 1, yang memberi cara mengecek apakah fungsi tanpa nilai negatif dapat menjadi fungsi kepadatan atau tidak.<ref>{{Harvnb|Feller|1966|p=3}}.</ref>
Dalam fisika, pada bidang seperti [[kinematika]], integral digunakan untuk mencari besaran seperti [[perpindahan]], [[waktu]], dan [[kecepatan]]. Sebagai contoh, dalam [[gerak lurus]], total perpindahan dari objek pada selang waktu <math>[a,b]</math> dapat dihitung dengan <math display="block">x(b)-x(a) = \int_a^b v(t) \,dt,</math>dengan <math>v(t)</math> menyatakan kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu.<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=306}}.</ref> Besar [[Usaha (fisika)|usaha]] <math>F(x)</math> yang digunakan (ditulis sebagai fungsi terhadap posisi) dari posisi <math>A</math> ke posisi tujuan <math>B</math> adalah:<ref>{{Harvnb|Apostol|1967|p=116}}.</ref> <math display="block">W_{A\rightarrow B} = \int_A^B F(x)\,dx.</math>Integral juga digunakan dalam [[termodinamika]], dengan [[integrasi termodinamika]] dipakai untuk menghitung selisih energi bebas diantara dua keadaan.
== Perumuman ==
===
{{Main|Integral takwajar}}
{{Lihat pula|Sejarah kalkulus}}▼
[[Berkas:Improper_integral.svg|ka|jmpl|Integral takwajar<math>\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi</math> memiliki selang yang tak-terbatas untuk domain dan nilai dari fungsi.]]
=== Integral lipat ===
{{Main|Integral lipat}}
[[Berkas:Volume_under_surface.png|ka|jmpl|Integral lipat dua yang menghitung volume dibawah permukaan <math>z=f(x,y)</math>]]
=== Integral garis dan integral permukaan ===
{{Main|Integral garis|Integral permukaan}}
[[Berkas:Line-Integral.gif|ka|jmpl|Integral garis menjumlahkan elemen-elemen (panah berwarna hijau) sepanjang kurva (berwarna biru).]]
=== Integral kontur ===
{{Main|Integral kontur}}
=== Integral dari bentuk diferensial ===
{{Main|Bentuk diferensial}}
== Sejarah ==
▲{{Lihat pula|Sejarah kalkulus}}{{Periksa terjemahan|en|Integral}}
===Integrasi pra-kalkulus===
Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah [[metode penghabis]] dari [[Yunani kuno]] astronom [[Eudoksos dari Knidos|Eudoksos]] (''ca.'' 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh [[Archimedes]] pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung [[luas lingkaran]], [[luas permukaan]] dan [[volume]] [[bola]], luas [[elips]], luas di bawah [[parabola]], volume segmen revolusi [[paraboloid]], volume segmen [[hiperboloid]] revolusi, dan luas [[spiral]].<ref>{{Cite book|last=Heath|first=Thomas Little|year=1897|title=Karya Archimedes|location=Inggris|publisher=Cambridge University Publications|isbn=|pages=}}</ref>
| |||