Gelanggang (matematika): Perbedaan antara revisi

Istilah "''Zahlring''" (gelanggang angka) dibuat oleh [[David Hilbert]] pada 1892 dan diterbitkan pada 1897.{{sfn|Hilbert|1897}} Menurut Harvey Cohn, Hilbert menggunakan istilah gelanggang yang memiliki sifat "berputar kembali" ke unsur itu sendiri.<ref>{{Citation|last=Cohn|first=Harvey|title=Advanced Number Theory|publisher=Dover Publications|location=New York|year=1980|page=[https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49 49]|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49}}</ref> Secara khusus, dalam sebuah gelanggang bilangan bulat aljabar, semua pangkat yang tinggi dari bilangan bulat aljabar bisa ditulis sebagai kombinasi integral dari pangkat-pangkat yang rendah, jadi pangkatnya "berputar". Contohnya, jika {{nowrap|1=''a''³ − 4''a'' + 1 = 0}} maka {{nowrap|1=''a''³ = 4''a'' − 1}}, {{nowrap|1=''a''⁴ = 4''a''² − ''a''}}, {{nowrap|1=''a''⁵ = −''a''² + 16''a'' − 4}}, {{nowrap|1=''a''⁶ = 16''a''² − 8''a'' + 1}}, {{nowrap|1=''a''⁷ = −8''a''² + 65''a'' − 16}}, dan seterusnya; secara umum, ''a''^''n'' adalah [[kombinasi linear]] integral dari 1, ''a'', dan ''a''².

Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya [[jumlah langsung]] tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima."{{sfn|Gardner|Wiegandt|2003}} [[Bjorn Poonen|Poonen]] membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".{{sfn|Poonen|2018}}

Aksioma modul menyiratkan bahwa {{math|1=(−1)''x'' = −''x''}}, di mana minus pertama menunjukkan [[aditif invers]] di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.