Fungsi cembung: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Convex_function (oldid 1244135098); Lihat sejarahnya untuk atribusi.
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Convex_function (oldid 1244135098); Lihat sejarahnya untuk atribusi.
Baris 3:
[[Berkas:Epigraph_convex.svg|ka|jmpl|300x300px|Fungsi (kurva hitam) bersifat cembung jika dan hanya jika daerah di atas [[grafik fungsi]] tersebut berupa [[himpunan cembung]].]]
[[Berkas:Grafico_3d_x2+xy+y2.png|ka|jmpl|300x300px|Grafik fungsi bivariat cembung {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}.]]
Dalam [[matematika]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]] bernilai [[Bilangan riil|riil]] dikatakan '''cembung''' jika [[ruas garis]] antara sebarang dua titik berbeda pada [[grafik fungsi]], berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi '''konveks''' dan fungsi '''cekung ke atas'''. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk <math>\cup</math> (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan [[fungsi cekung]] berbentuk seperti tutup <math>\cap</math>.
 
Fungsi satu variabel yang [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]] dua kali bersifat cembung [[jika dan hanya jika]] [[turunan kedua]] fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh [[Domain fungsi|domainnya]].<ref>{{Cite web|title=Lecture Notes 2|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017}}</ref> Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: [[fungsi linear]] <math>f(x) = cx</math> (dengan <math>c</math> adalah [[bilangan riil]]), [[Fungsi kuadrat|fungsi kuadratik]] <math>cx^2</math>(<math>c</math> adalah bilangan riil non-negatif), dan [[Fungsi eksponensial|fungsi ekponensial]] <math>ce^x</math> (<math>c</math> adalah bilangan riil non-negatif).
Baris 10:
 
== Definisi ==
Misalkan <math>X</math> adalah [[himpunan cembung]] dari suatu [[ruang vektor]] riil, dan misalkan <math>f: X \to \R</math> adalah sebuah fungsi. Fungsi <math>f</math> dikatakan cembung jika dan hanya jika ada kondisi berikut yang terpenuhi:
Suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]] bernilai [[Bilangan riil|riil]] <math>f</math> yang didefinisikan pada suatu [[Selang (matematika)|selang]] <math>I</math> disebut fungsi ''konveks'' pada selang tersebut apabila untuk sebarang dua titik <math>x,y
\in I</math>, untuk setiap <math>t</math> dalam [0,1] berlaku <ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|first=|date=2016|title=Pengantar Analisis Real|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=978-602-7861-58-9|url-status=live}}</ref>
 
# Untuk sebarang <math>0 \leq t \leq 1</math> dan sebarang <math>x_1, x_2 \in X</math> berlaku: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) \leq t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right)</math>Ruas kanan merepresentasikan ruas garis lurus yang menghubungkan <math>\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)</math> dan <math>\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)</math> sebagai fungsi dari <math>t;</math> memperbesar <math>t</math> dari <math>0</math> ke <math>1</math> atau memperkecil <math>t</math> dari <math>1</math> ke <math>0</math> akan menghasilkan titik yang melintasi ruas garis ini. Mirip dengan itu, argumen dari fungsi <math>f</math> di ruas kiri merepresentasikan garis lurus antara <math>x_1</math>dan <math>x_2</math> di <math>X</math> (sumbu-<math>x</math> dari grafik <math>f</math>). Akibatnya, kondisi ini mengharuskan ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada kurva <math>f</math> berada di atas atas atau berada menyentuh grafik dari fungsi tersebut.<ref>{{Cite web|last=|first=|date=|title=Concave Upward and Downward|url=https://www.mathsisfun.com/calculus/concave-up-down-convex.html|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20131218034748/http://www.mathsisfun.com:80/calculus/concave-up-down-convex.html |archive-date=2013-12-18 |access-date=|website=}}</ref>
: <math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)</math>.
# Untuk sebarang <math>0 < t < 1</math> dan sebarang <math>x_1, x_2 \in X</math> dengan <math>x_1 \neq x_2</math> berlaku: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) \leq t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right)</math>Perbedaan kondisi ini dengan kondisi sebelumnya adalah kondisi ini tidak menyertakan titik-titik perpotongan antara garis dengan kurva fungsi (yakni saat <math>t = 0</math> atau <math>1,</math> atau <math>x_1 = x_2</math>). Malahan, titik-titik tersebut tidak perlu dipertimbangkan dalam penentuan kecembungan fungsi, karena (jika mengikuti kondisi pertama) akan menghasilkan bentuk <math>f\left(x_1\right) \leq f\left(x_1\right)</math> dan <math>f\left(x_2\right) \leq f\left(x_2\right)</math> yang selalu benar.
Secara grafik, artinya [[ruas garis]] yang ditarik antara titik <math>(y,f(y))</math> dan <math>(x,f(y))</math> berada di atas grafik fungsi <math>f</math>. Setara dengan itu, dengan kata lain dapat juga dikatakan bahwa fungsi <math>f</math> adalah fungsi kompleks [[jika dan hanya jika]] epigraf (bagian di atas grafik) fungsi itu merupakan [[himpunan cembung]].
 
Kondisi kedua dari syarat kecembungan fungsi juga dapat diubah untuk menghasilkan definisi ''kecembungan tegas'' (''strict convexity''), dengan mengubah<math>\,\leq\,</math>menjadi pertidaksamaan tegas<math>\,<.</math> Secara matematis, fungsi <math>f</math> dikatakan ''cembung tegas'' jika dan hanya jika untuk sebarang <math>0 < t < 1</math> dan <math>x_1, x_2 \in X</math> dengan <math>x_1 \neq x_2</math> berlaku hubungan: <math display="block">f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) < t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right).</math>Fungsi <math>f</math> dikatakan ''cekung'' (atau ''cekung tegas'') jika <math>-f</math> bersifat cembung (atau cembung tegas).
 
== Sifat ==
Banyak sifat-sifat dari fungsi cembung untuk fungsi banyak variabel memiliki formulasi yang sama dengan versi fungsi satu variabel; walau tidak semuanya.
 
=== Fungsi satu variabel ===
 
* Misalkan <math>f</math> adalah fungsi [[Bilangan riil|riil]] yang terdefinisi pada suatu [[Selang (matematika)|selang]], dan misalkan<math display="block">R(x_1, x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}</math>menyatakan kemiringan dari garis yang melintasi titik <math>\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)</math> dan <math>\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)</math>. Fungsi <math>f</math> cembung jika dan hanya jika <math>R(x_1, x_2)</math> [[Fungsi monoton|monoton tak-menurun]] di <math>x_1,</math> untuk setiap <math>x_2</math> yang dijaga tetap (dan sebaliknya). <!-- This characterization of convexity is quite useful to prove the following results. ... -->
== Referensi ==
{{Reflist}}
== Pustaka ==
\in* I</math>, untuk setiap <math>t</math> dalam [0,1] berlaku <ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|first=Hendra|date=2016|title=Pengantar Analisis Real|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=978-602-7861-58-9|url-status=live}}</ref>
* {{cite book|last=Bertsekas|first=Dimitri|year=2003|title=Convex Analysis and Optimization|publisher=Athena Scientific|author-link=Dimitri Bertsekas}}
* [[Jonathan M. Borwein|Borwein, Jonathan]], and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
* {{cite book|last=Donoghue|first=William F.|year=1969|title=Distributions and Fourier Transforms|publisher=Academic Press}}
* Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and [[Claude Lemaréchal|Lemaréchal, Claude]]. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
* {{cite book|author=[[Mark Krasnosel'skii|Krasnosel'skii M.A.]], Rutickii Ya.B.|year=1961|title=Convex Functions and Orlicz Spaces|location=Groningen|publisher=P.Noordhoff Ltd}}
* {{cite book|last=Lauritzen|first=Niels|year=2013|title=Undergraduate Convexity|publisher=World Scientific Publishing}}
* {{cite book|last=Luenberger|first=David|year=1984|title=Linear and Nonlinear Programming|publisher=Addison-Wesley|author-link=David Luenberger}}
* {{cite book|last=Luenberger|first=David|year=1969|title=Optimization by Vector Space Methods|publisher=Wiley & Sons|author-link=David Luenberger}}
* {{cite book|last=Rockafellar|first=R. T.|year=1970|title=Convex analysis|location=Princeton|publisher=Princeton University Press|author-link=R. Tyrrell Rockafellar}}
* {{cite book|last=Thomson|first=Brian|year=1994|title=Symmetric Properties of Real Functions|publisher=CRC Press}}
* {{cite book|last=Zălinescu|first=C.|year=2002|title=Convex analysis in general vector spaces|location=River Edge,&nbsp;NJ|publisher=World Scientific Publishing&nbsp; Co.,&nbsp;Inc|isbn=981-238-067-1|pages=xx+367|mr=1921556}}
 
== Pranala luar ==
 
* {{springer|title=Convex function (of a real variable)|id=p/c026240}}
* {{springer|title=Convex function (of a complex variable)|id=p/c026230}}
{{Authority control}}
 
== Referensi ==