Teorema Sylow: Perbedaan antara revisi

[[Argumen Frattini]] menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan [[faktorisasi]] dari grup hingga. Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai '''Teorema fusi Burnside''' menyatakan Bahwa jika '' G '' adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup '' p '' dan dua himpunan bagian '' A '' dan '' B '' dinormalisasi oleh '' P '', lalu '' A '' dan '' B '' adalah konjugasi '' G '' [[jika dan hanya jika]] ada konjugasi ''N_G''(''P''). Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika ''B''=''A^g'', maka penormal '' B '' tidak hanya berisi '' P '' tetapi juga ''P^g'' (karena ''P^g'' terkandung dalam penormal dari ''A^g''). Dengan teorema Sylow '' P '' dan ''P^g'' terkonjugasi tidak hanya dalam '' G '', tetapi dalam penormalisasi '' B ''. Karenanya ''gh''⁻¹ menormalkan '' P '' untuk beberapa '' h '' yang menormalkan '' B '', lalu ''A''^''gh''⁻¹ = ''B''^h⁻¹ = ''B'', so that ''A'' dan '' B '' adalah konjugasi ''N_G''(''P''). Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut [[produk setengah langsung]]: jika '' G '' adalah grup terbatas yang Sylow '' p '' - subkelompok '' P '' terdapat di tengah penormalnya, lalu '' G '' memiliki subgrup normal '' K '' dengan urutan coprime ke '' P '', ''G'' = ''PK'' and ''P''∩''K'' = {1}, yaitu, '' G '' adalah [[grup p-nilpotent | '' p '' nilpotent]].

Salah satu bukti keberadaan Sylow '' p '' - subkelompok konstruktif: jika '' H '' adalah subgrup '' p '' '' G '' dan indeks [''G'':''H''] habis dibagi '' p '', lalu normalizer ''N'' = ''N_G''(''H'') dari '' H '' dalam '' G '' juga sedemikian rupa sehingga ['' N '': '' H ''] habis dibagi '' p ''. Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow '' p '' - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup-'' p '' pada '' H '' (termasuk identitas) dan mengambil elemen '' p '' - urutan daya yang terkandung dalam normalizer '' H '' tetapi tidak dalam '' H '' itu sendiri. Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di {{harv|Butler|1991|loc=Chapter 16}}, termasuk [[Algoritma|algoritme]] yang dijelaskan dalam {{harv|Cannon|1971}}. Versi ini masih digunakan dalam [[sistem aljabar komputer GAP]].