Rentang linear: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20240409)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
Baris 15:
Himpunan <math>\{(1, 0, 0),\,(0, 1, 0),\,(1,1,0)\}</math> bukan himpunan merentang dari <math>\mathbb R^3</math>, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di <math>\mathbb R^3</math> yang komponen terakhirnya bernilai <math>0.</math> Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan <math>\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}, </math> karena <math>(1,1,0)</math> adalah kombinasi linear dari <math>(1,0,0)</math> dan <math>(0,1,0).</math>
[[Himpunan kosong]] adalah himpunan merentang dari <math>\{(0, 0, 0)\}, </math> karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di <math>\mathbb R^3,</math> dan <math>\{(0, 0, 0)\} </math> adalah irisan dari semua subruang tersebut.
Himpunan semua [[monomial]] <math>x^n,</math> dengan <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] non-negatif, merentang ruang [[polinomial]].
== Teorema ==
Baris 24:
Untuk sebarang ruang vektor <math>V</math> atas lapangan <math>K,</math> himpunan semua kombinasi linear dari subset <math>S</math> dari <math>V,</math> adalah subruang terkecil dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>
: ''Bukti.'' Pertama kita tunjukkan bahwa <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math> Karena <math>S</math> adalah subset dari <math>V,</math> kita cukup membuktikan bahwa vektor <math>\mathbf 0</math> anggota dari <math>\text{span}(S), </math> bahwa <math>\text{span}(S)</math> dibawah penjumlahan, dan bahwa <math>\text{span}(S)</math> tertutup dibawah [[perkalian skalar]]. Misalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}</math>, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di <math>V</math> ada di <math>\text{span}(S), </math> karena <math>\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n. </math> Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari <math>S</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math><math display="block">(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n,</math>dengan semua <math>\lambda_i, \mu_i \in K</math>, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari <math>S</math> dengan sebarang skalar <math>c \in K</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math> <math display="block">c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n. </math>Alhasil, <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math>
: Misalkan <math>W</math> adalah subruang <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Perhatikan bahwa <math>S \subseteq \operatorname{span} S,</math> karena semua <math>\mathbf{v}_i</math> merupakan kombinasi linear dari <math>S</math> (secara langsung). Karena <math>W</math> tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear <math>\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n</math> harus berada di <math>W.</math> Akibatnya, <math>\text{span}(S)</math> terkandung di semua subruang dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari <math>S.</math>
| |||