Teorema Taylor: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k →Rujukan |
→Teorema Taylor dalam satu variabel: pengembangan |
||
Baris 64:
Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan [[deret Taylor]]-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang ''berbeda''. Namun, untuk banyak fungsi ''f''(''x''), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa ''R<sub>n</sub>'' mendekati nol saat ''n'' mendekati ∞. Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada [[persekitaran (matematika)|persekitaran]] titik ''a'', dan disebut sebagai [[fungsi analitik]].
=== Estimasi suku sisa ===
Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'')}} tempat variabel ''x'' mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.
Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu ''n'' kali pada selang tertutup {{nowrap|[''a'' - ''r'', ''a'' + ''r'']}} dan terturunkan {{nowrap|''n'' + 1 }} kali pada selang terbuka {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Bila ada konstanta positif riil ''M<sub>n</sub>'' sedemikian sehingga |ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''),}} maka
:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x),</math>
di mana fungsi sisa ''R<sub>n</sub>'' memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)
:<math> |R_n(x)| \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}</math>
untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Ini disebut sebagai estimasi seragam [[galat]] pada polinomial Taylor yang terpusat pada ''a'', karena ini berlaku seragam untuk setiap ''x'' dalam selang.
Bila ƒ adalah fungsi mulus pada {{nowrap|[''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''],}} maka konstanta positif ''M<sub>n</sub>'' ada untuk tiap''n'' = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga | ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga
:<math> M_n\frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \rightarrow 0</math> as <math>n \rightarrow \infin ,\!</math>
maka ƒ adalah [[fungsi analitik]] pada {{nowrap|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, ''R<sub>n</sub>''(''x'') cenderung menuju nol secara seragam saat ''n''→∞. Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.
== Catatan kaki ==
| |||