Revisi per 23 April 2010 14.31 sunting Kenrick95Bot (bicara \| kontrib) Bot 692.563 suntingan k Bot: perubahan kosmetika ← Revisi sebelumnya		Revisi per 22 Mei 2010 05.22 sunting balikkan Kenrick95Bot (bicara \| kontrib) Bot 692.563 suntingan k Bot melakukan perubahan kosmetika Revisi selanjutnya →
Baris 11: :<math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math> Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-''n''' terhadap ''e''<sup>''x''</sup> karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat ''n''. Hampiran ini hanya berlaku untuk ''x'' mendekati nol, dan bila ''x'' bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh '''suku sisa''': <math>R_n(x) = \textrm{e}^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).</math> Baris 31: :<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x). </math> Di sini ''n''! melambangkan ''n'' [[faktorial]] dan ''R<sub>n</sub>''(''x'') adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-''n'' terhadap fungsi asli. Suku sisa ''R<sub>n</sub>''(''x'') tergantung pada ''x'', dan kecil bila ''x'' cukup dekat terhadap ''a''. Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini. '''Bentuk [[Joseph Louis Lagrange\|Lagrange]]'''<ref>Klein (1998) 20.3; Apostol (1967) 7.7.</ref> dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara ''a'' dan ''x'' sedemikian sehingga :<math> Baris 61: </math> dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, ''f''<sub>n</sub> [[kontinu mutlak]] dalam {{nowrap\|[''a'', ''x'']}}. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan [[teorema dasar kalkulus]]. Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan [[deret Taylor]]-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang ''berbeda''. Namun, untuk banyak fungsi ''f''(''x''), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa ''R<sub>n</sub>'' mendekati nol saat ''n'' mendekati ∞. Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada [[persekitaran (matematika)\|persekitaran]] titik ''a'', dan disebut sebagai [[fungsi analitik]]. === Estimasi suku sisa === Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang {{nowrap\|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'')}} tempat variabel ''x'' mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya. Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu ''n'' kali pada selang tertutup {{nowrap\|[''a'' - ''r'', ''a'' + ''r'']}} dan terturunkan {{nowrap\|''n'' + 1 }} kali pada selang terbuka {{nowrap\|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Bila ada konstanta positif riil ''M<sub>n</sub>'' sedemikian sehingga \|ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')\| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap\|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''),}} maka :<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x),</math> Baris 76: :<math> \|R_n(x)\| \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}</math> untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap\|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Ini disebut sebagai estimasi seragam [[galat]] pada polinomial Taylor yang terpusat pada ''a'', karena ini berlaku seragam untuk setiap ''x'' dalam selang. Bila ƒ adalah fungsi mulus pada {{nowrap\|[''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''],}} maka konstanta positif ''M<sub>n</sub>'' ada untuk tiap''n'' = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga \| ƒ<sup>(''n''+1)</sup>(''x'')\| ≤ ''M<sub>n</sub>'' untuk semua ''x'' ∈ {{nowrap\|(''a'' − ''r'', ''a'' + ''r'').}} Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga Baris 86: == Pembuktian: satu variabel == Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral<ref>Perhatikan bahwa bukti ini mensyaratkan bahwa ''f''<sup>n</sup> kontinu mutlak pada{{nowrap\|[''a'', ''x'']}} sehingga [[teorema dasar kalkulus]] berlaku. Kecuali pada bagian akhir saat teorema nilai rata-rata diterapkan, keterdiferensialan ''f''<sup>n</sup> tidak perlu diasumsikan, karena kekontinan mutlak menyiratkan keterdiferensialan hampir di mana saja, serta kesahihan teorema dasar kalkulus, dengan syarat integral yang terlibat dipahami sebagai [[integral Lebesgue]]. Sebagai akibatnya, bentuk integral suku sisa berlaku dengan pelemahan asumsi terhadap ''f''.</ref> [[Teorema dasar kalkulus]] menyatakan bahwa

Teorema Taylor: Perbedaan antara revisi