Wikipedia

Teorema binomial: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Ridhoni (bicara | kontrib)
440 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Baris 1:
[[BerkasImage:Pascal's triangle small5.pngsvg|jmplright|thumb|200px|[[Koefisien dari teorema binomial]] dapat dilihat pada [[segitiga pascalPascal]] dimana setiap entri adalah hasil danpenjumlahan ditentukandua menggunakanangka aturandi kombinasiatasnya.]]
 
Dalam [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[teorema]] yang menjelaskan mengenai pengembangan [[eksponen]] dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup> menjadi sebuah [[penjumlahan]] dari suku-suku dengan bentuk ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, dimana eksponen ''b'' dan ''c'' adalah [[bilangan asli|bilangan bulat non negatif]] dengan {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}}, dan [[koefisien]] ''a'' dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada ''n'' dan ''b''. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,
Dalam [[matematika]] bidang [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[rumus]] penting yang memberikan ekspansi [[pangkat (matematika)|pangkat]] dari penjumlahan antara dua variabel. Versi paling sederhana menyatakan bahwa:
 
:<math>(x + y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4x4 x^3y \,+\, 6x6 x^2y2 y^2 \,+\, 4xy4 x y^3 \,+\, yx^0y^4\,.</math>▼
:<math>(x - +y)^4 \;=\; x^4 -\,+\, 4x4 x^3y \,+\, 6x6 x^2y2 y^2 -\,+\, 4xy4 x y^3 \,+\, y^4\,.</math>▼
 
Koefisien ''a'' pada suku ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> dikenal sebagai [[koefisien binomial]] <math>\tbinom nb</math> atau <math>\tbinom nc</math> (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi ''n'' dan ''b'' dapat disusun membentuk [[segitiga Pascal]]. Angka-angka ini juga muncul dalam [[kombinatorika]], dimana <math>\tbinom nb</math> menunjukkan banyaknya [[kombinasi]] yang berbeda dari [[unsur (matematika)|unsur]] ''b'' yang dapat dipilih dari suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] dengan unsur sebanyak ''n''.
:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>▼
 
==Sejarah==
Untuk setiap bilangan [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] ''x'' dan ''y'', serta semua [[bilangan bulat]] taknegatif ''n''. [[Koefisien binomial]] yang muncul dalam persamaan (1) dapat didefinisikan dalam bentuk fungsi [[faktorial]] ''n''!:
Rumus dan susunan segitiga dari koefisien binomial ini sering dikaitkan dengan [[Blaise Pascal]], yang menguraikannya pada abad ke-17. Tetapi, sebenarnya rumus dan susunan tersebut telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk setiap eksponen. [[Matematika Yunani|Matematikawan Yunani]] abad ke-4 SM [[Euklides]] menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen&nbsp;2<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html Binomial Theorem]</ref><ref>[http://www.jstor.org/pss/2305028 The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge], ''The American Mathematical Monthly'' '''56''':3 (1949), pp. 147–157</ref> seperti yang dilakukan oleh [[matematika India|matematikawan India]] abad ke-3 SM [[Pingala]] untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan kemudian disebut "[[segitiga Pascal]]" telah dikenal di abad ke-10 M oleh matematikawan India [[Halayudha]] dan [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] [[Al-Karaji]],<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> di abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan Persia [[Umar Khayyām]],<ref>{{cite book|last=Sandler|first=Stanley|title=An Introduction to Applied Statistical Thermodynamics|year=2011|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|location=Hoboken NJ|isbn=978-0-470-91347-5}}</ref> dan di abad ke-13 oleh [[Matematika Cina|matematikawan Cina]] [[Yang Hui]], yang semuanya memperoleh hasil yang sama.<ref>{{Cite web
| last = Landau
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.</math>
| first = James A
| title = <nowiki>Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle</nowiki>
| work = Archives of Historia Matematica
| format = mailing list email
| accessdate = 13 April 2007
| date = 1999-05-08
| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
}}</ref> Al-Karaji juga memberikan sebuah [[pembuktian matematika]] dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan [[induksi matematika]].<ref name=Karaji/>
 
==Pernyataan teorema==
Sebagai contoh, untuk 2 ≤ ''n'' ≤ 5:
Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>▼
:<math>(x + y)^3n = {n \choose 0}x^3n y^0 + 3x{n \choose 1}x^{n-1}y^2y1 + 3xy{n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^3{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>
</math>
▲:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,</math>
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,</math>▼
 
dimana setiap <math> \tbinom nk </math> adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai [[koefisien binomial]]. Rumus ini dikenal juga sebagai '''rumus binomial''' atau '''identitas binomial'''. Dengan menggunakan [[penjumlahan|notasi penjumlahan]], rumus itu dapat ditulis
:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
</math>
Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak ''x'' dan ''y'' dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.
 
Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan [[perubahan variabel|mensubstitusi]] ''y'' dengan 1, sehingga hanya terdapat satu [[variable (matematika)|variabel]]. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi
:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
 
atau ekuivalen
▲:<math>(x1+yx)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1).</math>
 
==Contoh==
[[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Segitiga Pascal]]
Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' [[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]
 
▲:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\,!</math>
 
Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:
 
:<math>
\begin{align}
\\[8pt]
:<math>(x - +y)^3 & = x^3 -+ 3x^2y + 3xy^2 -+ y^3\,</math> \\[8pt]▼
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
▲:<math>(x + y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5.\,</math> \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}
</math>
Perhatikan bahwa:
# PangkatEksponen dari <math>x</math> bergerakmenurun turunhingga dimanamencapai pada suku pertama dimulai dengan n0 (<math>x^n0=1</math>) dandengan padanilai sukuawal terakhiradalah saman dengan(n 0pada (<math>(x+y)^0=1n</math>).
# Untuk pangkatEksponen dari <math>y</math> berlakunaik sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengandari 0 (<math>y^0=1</math>) danhingga padamencapai sukun terakhir(juga saman denganpada n (<math>(x+y)^n</math>).
# Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
# Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan <math>2^n</math>.
# Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan <math>n+1</math>.
 
Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,
 
:<math>\begin{align}
(x+4)^3 &= x^3 + 3x^2(4) + 3x(4)^2 + 4^3 \\
&= x^3 + 12x^2 + 48x + 64.\end{align}</math>
 
Untuk binomial yang menggunakandalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan [[inversi penjumlahan|tanda yang berlawanan]] pada suku berikutnya:▼
:<math>(x - y)^23 = x^23 - 2xy3x^2y + y3xy^2 - y^3.\,!</math>▼
 
Contoh lain yang berguna adalah pengembangan akar kuadrat berikut:
:<math>(1+x)^{0.5} = \textstyle 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>
 
:<math>(1+x)^{-0.5} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>
 
==Catatan==
{{reflist}}
 
==Referensi==
{{refbegin}}
*{{cite journal|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
*{{cite journal
|last1 = Barth
|first1 = N. R.
|title = Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube
|journal = The American Mathematical Monthly
|volume = 111
|issue = 9
|pages = 811–813
|year = 2004
|doi = 10.2307/4145193
}}
*{{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=153–256|chapter=(5) Binomial Coefficients|isbn=0-201-55802-5|oclc=17649857}}
{{refend}}
 
▲Untuk binomial yang menggunakan pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan tanda yang berlawanan pada suku berikutnya:
▲:<math>(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\,</math>
▲:<math>(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,</math>
▲:<math>(x - y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4\,</math>
{{math-stub}}
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Teorema_binomial"