Integral substitusi

Dalam bidang kalkulus, integral substitusi atau substitusi-u adalah salah satu metode untuk mencari integral dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Contoh

Contoh pertama

Perhatikan integral berikut:

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$

Jika kita melakukan substitusi u = (x² + 1), maka diperoleh du = 2x dx, sehingga x dx = ½du. Lalu kita substitusikan ke dalam integralnya:

${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}$

Perlu diingat bahwa di sini batas bawah x = 0 diganti dengan u = 0² + 1 = 1, dan batas atas x = 2 diganti dengan u = 2² + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini u tidak perlu diubah kembali menjadi x.

Contoh 2

Untuk integral

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$

Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah x = sin(u), dx = cos(u) du, karena ${\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)$:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}$

Contoh 3: antiturunan

Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari antiturunan, yaitu dengan menentukan hubungan antara x dan u serta dx dan du. Berikut adalah contohnya:

${\begin{aligned}&{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}$

Referensi

• Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler and differentials", The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130 
• Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4 .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7 .
• Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan", Mathematics Magazine, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856 
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 .
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6 .