Uji kekonvergenan

Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tes

Limit dari jinumlah

Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Uji rasio

Ini juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Andaikan terdapat $r$ sedemikian rupa sehingga

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.

Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.

Jika r = 1, uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji akar

Ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Misalkan

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

di mana $\lim \sup$ melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).

Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.

Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.

Jika r = 1, uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji integral

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ adalah suatu fungsi positif dan monoton menurun sedemikian rupa sehingga $f(n)=a_{n}$.

Jika $\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$ maka deret tersebut konvergen

Jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen.

Dengan kata lain, deret ${a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.

Uji perbandingan langsung

Jika deret $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ merupakan suatu deret konvergen mutlak dan $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ untuk n yang cukup besar, maka deret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergen mutlak.

Uji perbandingan limit

Jika $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, dan limit $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergen jika dan hanya jika $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergen.

Uji kondensasi Cauchy

Misalkan $\left\{a_{n}\right\}$ adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ konvergen. Lagi pula, jika konvergen, maka $A\leq A^{*}\leq 2A$ berlaku.

Uji Abel

Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:

1. $\sum a_{n}$ adalah suatu deret konvergen,
2. {b_n} adalah suatu urutan monoton, dan
3. {b_n} mempunyai batasan (bounded).

Maka $\sum a_{n}b_{n}$ juga konvergen.

Uji Raabe–Duhamel

Misalkan { a_n } > 0.

Definisikan

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$.

Jika $L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ada, maka ada tiga kemungkinan:

• Jika L > 1 deret itu konvergen
• Jika L < 1 deret itu divergen
• Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.

Suatu rumus selang-seling dari uji ini adalah sebagai berikut. Misalkan {a_n} adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

untuk semua n > K maka deret { a_n } itu konvergen.

Catatan

• Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

Perbandingan

Uji akar lebih kuat dari uji rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana uji rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari uji akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.

Contohnya, untuk deret

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.

Contoh

Pertimbangkan deret

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$.

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen hingga jika

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

secara finit konvergen. Karena

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) merupakan deret geometrik dengan rasio $2^{(1-\alpha )}$. (**) merupakan konvergen hingga jika rasionya kurang dari satu (yaitu $\alpha >1$). Jadi, (*) merupakan konvergen hingga jika dan hanya jika $\alpha >1$.

Lihat pula

• Kaidah L'Hôpital
• Kaidah geser

Pranala luar

• Flowchart for choosing convergence test