Aturan sinus

Untuk kegunaan lain, lihat Sinus (disambiguasi).

Dalam trigonometri, aturan sinus, rumus sinus, atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap sinus sudut-sudutnya.

Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila dua sudut dan satu sisinya diketahui—masalah umum dalam teknik triangulasi. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui dua sisi dan satu dari sudut yang tak diapit sisi-sisi tersebut; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Saat ini terjadi, sering kali hanya satu yang akan menyebabkan seluruh sudut bernilai kurang daripada 180°; dalam kasus lain, kedua penyelesaian sah. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.

Hukum-hukum ini dinyatakan dan ditunjukkan, untuk segitiga bola, oleh Abu Nashr Mansur pada awal abad kesebelas dan, untuk bentuk bidang datar, oleh Nashiruddin ath-Thusipada awal abad ketiga belas^[1].

Bunyi Teorema

Segitiga ABC dengan sisi a, b, c; sudut segitiga A, B, C; luas segitiga S; dan jari-jari lingkaran luar R.

Untuk sebarang segitiga ABC dengan sudut A, B dan C, dengan sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut masing-masing a, b dan c (ditulis dengan huruf kecil), berlaku:

{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R.

di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga ABC.

Dapat ditunjukkan bahwa

{\begin{aligned}2R&={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\&={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}

di mana $s$ setengah keliling lingkaran

s={\frac {(a+b+c)}{2}}

Bukti

Perhatikan segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berhadapan A, B, dan C. Tarik garis tinggi h dari sudut C ke sisi c sehingga segitiga ABC terbagi menjadi dua segitiga siku-siku.

Dapat diamati bahwa: