Frustum

{{Infobox polyhedron

| name = Frustum | image = | caption = Contoh: Frustum pentagonal dan persegi siku-siku
(n=5 dan n=4) | faces = n trapesium sama kaki, {2 poligon beraturan | edges = 3{{math|1=n} | vertices = 2{{math|1=n} | simmetry = </nowiki>C_nv, [1,n], (*nn) | dual = bipiramida segi-n siku-siku asimetrik cembung | properties = cembung }} Dalam geometri, frustum adalah suatu bagian dari bangun ruang seperti kerucut atau limas, yang terletak di antara dua bidang sejajar yang memotongnya. Dalam kasus limas, muka alas berupa poligon, dan muka sisi berupa trapesium. Frustum siku-siku adalah pemenggalan limas siku-siku atau kerucut siku-siku yang tegak lurus dengan garis sumbunya. Pemenggalan bangunan tersebut yang bukan siku-siku disebut frustum bukan siku-siku.

Rumus frustum kerucut

Garis pelukis

$s={\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}}$

Luas alas

bawah

$L=\pi r_{1}^{2}$

atas

$L=\pi r_{2}^{2}$

Luas selimut

Frustum pada kerucut

model 3D dari kerucut.

Untuk frustum berbentuk kerucut melingkar kanan

${\begin{aligned}L=\pi (r_{1}+r_{2})s=\pi (r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}}\end{aligned}}$

Luas permukaan

$L=L_{ab}+L_{ab}+L_{s}$

${\begin{aligned}L=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})s)\\=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+t^{2}}})\end{aligned}}$

di mana r1 dan r2 adalah jari-jari dasar dan atas, dan s adalah ketinggian miring dari frustum.

Luas permukaan dari frustum hak yang basis reguler mirip n- sisi poligon [luas permukaan polihedron sisi-n] adalah

$L={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4t^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]$

Volume

Rumus volume frustum dari piramida kuadrat diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno dalam apa yang disebut Moskow Matematika Papirus, yang ditulis dalam dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):

$V={\frac {1}{3}}t(a^{2}+ab+b^{2}).$

di mana a dan b adalah panjang sisi dasar dan atas dari piramida terpotong, dan t adalah tinggi. Orang Mesir tahu formula yang tepat untuk mendapatkan volume piramida kuadrat terpotong, tetapi tidak ada bukti dari persamaan ini yang diberikan dalam papirus Moskow.

Volume dari frustum kerucut atau limas adalah volume padat sebelum mengiris puncak off, dikurangi volume puncak:

$V={\frac {t_{1}B_{1}-t_{2}B_{2}}{3}}$

di mana B1 adalah area dari satu basis, B2 adalah area dari basis yang lain, dan t1 , t2 adalah ketinggian tegak lurus dari puncak ke bidang dari dua basis.

Mengingat bahwa

${\frac {B_{1}}{t_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{t_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{t_{1}t_{2}}}=\alpha$,

rumus untuk volume dapat dinyatakan sebagai produk proporsionalitas ini α/3 dan perbedaan kubus dengan ketinggian t1 dan t2 saja.

$V={\frac {t_{1}\alpha t_{1}^{2}-t_{2}\alpha t_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(t_{1}^{3}-t_{2}^{3})$

Dengan memfaktorkan perbedaan dua kubus $(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}))$ seseorang mendapat t1-t2 = t, ketinggian frustum, dan $\alpha \times {\frac {(t_{1}^{2}+t_{1}t_{2}+t_{2}^{2})}{3}}$.

Mendistribusikan α dan menggantikannya dari definisinya, rata Heronian dari daerah B1 dan B2 diperoleh. Karena itu, formula alternatifnya

$V={\frac {t}{3}}(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})$.

Bangau Aleksandria terkenal karena menurunkan formula ini dan dengan itu berhadapan dengan bilangan imajiner, akar kuadrat dari bilangan negatif.

Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar adalah

$V={\frac {\pi t}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})$

di mana π adalah 3.14159265 ..., dan r1, r2 adalah jari - jari kedua pangkalan.

Pyramidal frustum

Volume dari suatu piramidal frustum yang basisnya adalah n- sisi [volume polihedron sisi-n] adalah poligon reguler

$V={\frac {nt}{12}}(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}$

Contoh

Rolo brand chocolates approximate a right circular conic frustum, although not flat on top.

Lihat pula

• Frustum bola
• Frustum limas
• Frustum polihedron