Persamaan roket Tsiolkovsky

Persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan roket klasik, atau persamaan roket ideal adalah persamaan rumus matematis yang menggambarkan gerak kendaraan yang mengikuti prinsip dasar roket: sebuah alat yang dapat melakukan percepatan pada dirinya sendiri dengan menggunakan gaya dorong dengan cara mengeluarkan sebagian massanya dengan kecepatan tinggi. Kecepatan demikian dapat bergerak karena kekekalan momentum. Persamaan ini merupakan persamaan dasar astronotika menghubungkan peningkatan kecepatan selama fase propulsi pesawat ruang angkasa yang dilengkapi dengan mesin roket dengan rasio massa awalnya dengan massa akhirnya. $$\Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},$$ di mana:

• $\Delta v$ adalah delta-v – perubahan velocity kecepatan maksimum kendaraan (tanpa gaya eksternal yang bekerja).
• $m_{0}$ adalah massa total awal, termasuk propelan, alias massa basah.
• $m_{f}$ adalah massa total akhir tanpa propelan, alias massa kering.
• $v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}$ adalah effective exhaust velocity kecepatan buang efektif, dimana:
  • $I_{\text{sp}}$ adalah impuls spesifik dalam dimensi waktu.
  • $g_{0}$ adalah gravitasi standar.
• $\ln$ adalah fungsi logaritma natural.

Bagan yang menunjukkan rasio massa roket yang diplot terhadap kecepatan akhir yang dihitung menggunakan persamaan roket Tsiolkovsky.

Mengingat kecepatan keluaran exhaust efektif $v_{\text{e}}$ (ditentukan oleh desain motor roket), delta-v yang diinginkan (misalnya, kecepatan lepas), dan massa kering tertentu $m_{f}$, persamaan tersebut dapat digunakan untuk mencari massa basah yang dibutuhkan $m_{0}-m_{f}$: $$m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.$$ Jadi massa basah yang diperlukan tumbuh secara eksponensial dengan delta-v yang diinginkan, seperti yang diilustrasikan pada grafik di atas.

Persamaan ini dinamai ilmuwan Rusia Konstantin Tsiolkovsky (Rusia:онстантин олковский) yang secara independen menurunkannya dan menerbitkannya dalam karyanya tahun 1903.

Persamaan telah diturunkan sebelumnya oleh matematikawan Inggris William Moore pada tahun 1810, dan kemudian diterbitkan dalam buku terpisah pada tahun 1813.

Robert Goddard di AS secara mandiri mengembangkan persamaan tersebut pada tahun 1912 ketika ia memulai penelitiannya untuk meningkatkan mesin roket untuk kemungkinan penerbangan luar angkasa. Hermann Oberth di Eropa secara independen menurunkan persamaan sekitar tahun 1920 saat ia mempelajari kelayakan perjalanan ruang angkasa.

Sementara derivasi turunan persamaan roket adalah latihan kalkulus langsung, Tsiolkovsky dihormati sebagai orang pertama yang menerapkannya pada pertanyaan apakah roket dapat mencapai kecepatan yang diperlukan untuk perjalanan ruang angkasa.

Untuk memahami prinsip propulsi roket, Konstantin Tsiolkovsky mengusulkan eksperimen terkenal "perahu". Seseorang berada di perahu jauh dari pantai tanpa dayung. Dia ingin mencapai pantai ini. Dia memperhatikan bahwa perahu itu dimuati dengan sejumlah batu dan memiliki gagasan untuk melemparkan, satu per satu dan secepat mungkin, batu-batu ini ke arah yang berlawanan dengan tepian. Secara efektif, jumlah gerakan batu yang dilemparkan ke satu arah sesuai dengan jumlah gerakan yang sama untuk perahu ke arah lain.

Contoh

Contoh berikut bertujuan untuk menunjukkan minat roket multi-tahap. Pertimbangkan roket dua tahap dengan karakteristik sebagai berikut:

• massa propelan yang dibawa oleh setiap tahap (tahap pertama: 100 ton; tahap kedua: 20 ton) mewakili 10 kali massa kosongnya;
• kecepatan ejeksi gas adalah 4000 m/s ;

dan misalkan ia membawa muatan 2t. Mari kita rangkum data ini dalam sebuah tabel:

Tahap	Massa propelan (t)	Berat kosong (t)	Massa total (t)	Kecepatan ejeksi gas (m/s)
Tahap awal	$m_{e{\mathfrak {1}}}=100$	$m_{v{\mathfrak {1}}}=10$	$m_{t{\mathfrak {1}}}=110$	$v_{e}=4\,000$
Tahap kedua	$m_{e{\mathfrak {2}}}=20$	$m_{v{\mathfrak {2}}}=2$	$m_{t{\mathfrak {2}}}=22$	$v_{e}=4\,000$
Muatan			$m_{cu}=2$
Jumlah roket	$m_{e{\mathfrak {}}}=120$	$m_{v{\mathfrak {}}}=12$	$m_{t{\mathfrak {}}}=134$

Kami kemudian dapat melakukan perhitungan kenaikan kecepatan, sebagai berikut, dengan menggunakan persamaan Tsiolkovsky dua kali, pada langkah 3 dan 6:

Langkah perhitungan		Rumus	Massa (t)	Kecepatan (m/s)
1	Massa pada pengapian tahap pertama	$m_{i{\mathfrak {1}}}=m_{t{\mathfrak {}}}$	$134$
2	Massa pada keredupan tahap pertama	$m_{f{\mathfrak {1}}}=m_{i{\mathfrak {1}}}-m_{e{\mathfrak {1}}}$	$34$
3	Peningkatan kecepatan tahap pertama	$\Delta v_{1}=v_{e}\ln {\tfrac {m_{i{\mathfrak {1}}}}{m_{f{\mathfrak {1}}}}}$		$5\,486$
4	Massa saat pengapian tahap kedua	$m_{i{\mathfrak {2}}}=m_{f{\mathfrak {1}}}-m_{v{\mathfrak {1}}}$	$24$
5	Massa pada keredupan tahap kedua	$m_{f{\mathfrak {2}}}=m_{i{\mathfrak {2}}}-m_{e{\mathfrak {2}}}$	$4$
6	Peningkatan kecepatan tahap kedua	$\Delta v_{2}=v_{e}\ln {\tfrac {m_{i\,2}}{m_{f\,2}}}$		$7\,167$
7	Kecepatan akhir	$\!\,\Delta v=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}$		$12\,653$

Sebagai perbandingan, sebuah roket yang terdiri dari satu tahap dengan jumlah total propelan yang sama (120 t) dan total massa kosong yang sama (12 t) akan memberikan muatan dengan massa yang sama (2 t) kecepatan sekitar 30% lebih rendah:

Langkah perhitungan		Rumus	Massa (t)	Kecepatan (m/s)
1	Pengapian ground on stage (tunggal)	$m_{i{\mathfrak {}}}=m_{t{\mathfrak {}}}$	$134$
2	Massa pemutusan tahap	$m_{f{\mathfrak {}}}=m_{i{\mathfrak {}}}-m_{e{\mathfrak {}}}=m_{v{\mathfrak {}}}+m_{cu{\mathfrak {}}}$	$14$
3	Kecepatan akhir	$\Delta v=v_{e}\ln {\tfrac {m_{i}}{m_{f}}}$		$9\,034$