Determinan

nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi
Revisi sejak 27 November 2023 03.34 oleh Kekavigi (bicara | kontrib) (Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. Meletakkan bagian ''Sejarah'' sebelum ''Definisi'', untuk lebih memperkenalkan perkembangan dan peran penting determinan, sebelum masuk ke bagian teoritis.)

Dalam matematika khususnya aljabar linear, determinan (bahasa Inggris: determinant) adalah nilai skalar yang dihasilkan fungsi dari entri-entri suatu matriks persegi. Determinan dari matriks A umumnya dinyatakan dengan notasi det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Nilai determinan mencirikan beberapa sifat dari matriks tersebut, dan peta linear yang diwakili oleh matriks tersebut. Contohnya, determinan bernilai tidak nol jika dan hanya jika matriks tersebut tidak singular dan peta linear yang diwakilinya merupakan suatu isomorfisme. Determinan dari hasil perkalian matriks-matriks sama dengan hasil perkalian dari determinan matriks-matriks tersebut.

Luas jajar genjang pada gambar di atas sama dengan nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor (a,b) dan vektor (c,d), yang mewakili sisi-sisi jajar genjang.

Determinan dari matriks 2 × 2 adalah

dan determinan dari matriks 3 × 3 adalah

Determinan dari matriks ukuran n × n dapat didefinisikan dalam beberapa cara yang berbeda. Cara paling umum adalah rumus Leibniz, yang menyatakan determinan sebagai jumlah dari (n faktorial) perkalian bertanda dari entri-entri matriks. Cara ini selanjutnya dapat dihitung dengan ekspansi Laplace yang menyatakan determinan sebagai kombinasi linear dari determinan-determinan submatriks; atau dengan eliminasi Gauss yang menyatakan determinan sebagai hasil kali entri-entri diagonal dari matriks diagonal, yang diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer. Determinan juga dapat didefinisikan dari beberapa sifat mereka. Determinan adalah suatu fungsi unik yang didefinisikan pada matriks n × n dan memiliki empat sifat berikut: determinan dari matriks identitas bernilai 1; pertukaran dua baris matriks akan mengalikan nilai determinan dengan −1; mengalikan sebuah baris dengan sebuah bilangan, akan mengalikan nilai determinan dengan bilangan tersebut; dan menambahkan kelipatan dari sebuah baris dengan baris lainnya tidak mengubah determinan.

Determinan umum muncul dalam matematika. Sebagai contoh, sebuah matriks sering digunakan untuk merepresentasikan koefisien-koefisien dalam sebuah sistem persamaan linear, dan determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut (aturan Cramer); meskipun ada metode penyelesaian lain yang jauh lebih efisien secara komputasi. Determinan digunakan untuk menentukan polinomial karakteristik dari sebuah matriks, yang akar-akarnya adalah nilai-nilai eigen matriks tersebut. Dalam geometri, volume bertanda dari jajar genjang n-dimensi dapat dinyatakan dengan sebuah determinan, dan determinan dari (matriks) transformasi linear menentukan cara orientasi dan volume objek n-dimensi berubah. Hal ini selanjutnya digunakan determinan Jacobi dalam kalkulus, khususnya untuk subtitusi variabel dalam integral lipat.

Matriks persegi dimensi 2

Determinan dari matriks ukuran   dengan entri-entri  , umumnya disimbolkan antara dengan "det" atau dengan garis tegak diantara matriks. Nilai dari determinannya selanjutnya didefinisikan sebagai

 

Berikut adalah sebuah contoh perhitungan determinan,

 

Determinan memiliki beberapa sifat penting yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi determinan untuk matriks  . Sifat-sifat ini selanjutnya masih berlaku untuk determinan matriks yang berukuran lebih besar. Sifat-sifat itu adalah:[1] pertama, determinan dari matriks identitas   bernilai  . Kedua, determinan akan bernilai nol jika ada dua baris yang sama pada matriks; secara aljabar:   Sifat ini juga berlaku ketika ada dua kolom yang sama. Lebih lanjut, mengubah semua entri pada sembarang kolom (atau baris) pada matriks akan menghasilkan hubungan: Terakhir, jika sembarang kolom (atau baris) dikalikan dengan bilangan   (artinya setiap entri pada kolom tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut), nilai determinan matriks tersebut juga akan dikalikan dengan bilangan tersebut:

 

Makna geometris

 
Luas jajar genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor yang mewakili sisi-sisi jajar genjang tersebut.

Jika entri-entri matriks berupa bilangan real, matriks A dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: satu yang memetakan vektor basis standar ke baris-baris dari A, dan satu lagi yang memetakannya ke kolom-kolom dari A. Pada kedua kasus tersebut, bayangan dari vektor-vektor basis akan membentuk sebuah jajar genjang yang merepresentasikan bayangan persegi satuan akibat pemetaan tersebut. Menggunakan matriks 2 × 2 pada bagian sebelumnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh baris-baris matriks memiliki titik-titik sudut di (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d), seperti yang ditunjukkan pada diagram disamping.

Nilai absolut dari adbc menyatakan luas dari jajar genjang, dan dengan demikian, mewakili faktor skala yang digunakan untuk mentransformasikan persegi satuan. (Jajar genjang yang dibentuk oleh kolom-kolom A pada umumnya merupakan jajar genjang yang berbeda dengan yang dibentuk dari baris-baris A, namun karena determinan bersifat simetris terhadap baris dan kolom, maka luasnya akan sama).

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi luas bertanda (oriented area) dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan luas yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk matriks identitas).

Untuk menunjukkan bahwa adbc adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, u ≡ (a, b) dan v ≡ (c, d), yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai |u| |v| sin θ, dengan θ adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat sinus, luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan perkalian vektor, yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya u = (−b, a) sehingga luas juga dapat ditulis sebagai |u| |v| cos θ′: Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh A. Ketika determinan bernilai 1, peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat equi-areal dan orientation-preserving.

 
Volume balok jajar genjang ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom-kolom yang dibangun dari vektor     dan  

Jika matriks real A ukuran n × n ditulis dalam komponen vektor-vektor kolomnya, sehingga  , maka Hal ini mengartikan A memetakan kubus dimensi-n menjadi balok jajar genjang dimensi-n dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor   dengan domain  Nilai determinan menyatakan volume dimensi-n bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-n akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh A.[2] (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (preserve) orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-n sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan A kurang dari n. Hal ini (menggunakan teorema rank-nolitas) menunjukkan transformasi A tidak bersifat surjektif maupun bijektif, sehingga tidak terbalikkan (invertibel).

Sejarah

Dari sisi sejarah, determinan sudah digunakan sebelum konsep matriks muncul. Determinan awalnya dianggap sebagai salah satu sifat dari sistem persamaan linear untuk menentukan (determines) apakah sistem tersebut memiliki solusi yang unik (yang hanya terjadi ketika determinan bernilai tak-nol). Dalam konteks ini, determinan pertama kali digunakan dalam buku teks China Jiuzhang Suanshu sekitar abad ke-3 SM. Di Eropa, solusi dari sistem linear dua persamaan dapat dinyatakan dengan objek mirip-determinan oleh Cardano pada tahun 1545.[3]

Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya Seki Takakazu di Jepang pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh Leibniz pada tahun 1693.[4][5][6][7] (Cramer 1750) menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.[8] Cramer dan (Bezout 1779) mempelajari determinan karena hubungannya dengan kurva pada bidang yang melewati suatu himpunan titik.[9]

Vandermonde (1771) adalah yang pertama menganggap determinan sebagai suatu fungsi tersendiri.[5] (Laplace 1772) menyusun metode umum untuk menjabarkan determinan matriks dengan menggunakan komplemen dari minor-minornya; dengan kasus khusus metode ini sudah dibuat oleh Vandermonde[10] Langsung setelah itu, Lagrange (1773) meneliti determinan orde kedua dan ketiga dan menerapkannya pada pertanyaan-pertanyaan terkait teori eliminasi, nama lawas bagi pendekatan algoritmik untuk menghilangkan beberapa variabel pada beberapa polinomial multivariabel.

Perkembangan besar selanjutnya dibuat oleh Gauss pada tahun 1801. Seperti Lagrange, ia banyak menggunakan determinan dalam teori bilangan. Ia juga memperkenalkan istilah "determinant" (Laplace menggunakan istilah "resultant") walau tidak dapat pemahaman modern, namun sebagai diskriminan dari polinomial homogen.[11] Gauss juga mengembangkan konsep kebalikan (invers) dari determinan.

Selanjutnya pada tahun 1811-1812,Binet menyatakan secara formal teorema terkait perkalian dua matriks dengan   kolom dan   baris, yang pada kasus khusus   tereduksi menjadi teorema perkalian bilangan. Pada hari yang sama (30 November 1812) Binet mempresentasikan karyanya ke Akademi, Cauchy juga mempresentasikan karyanya dengan topik serupa. (lihat rumus Cauchy–Binet.) Dalam karya ini Cauchy menggunakan istilah "determinan" dalam pengertian saat ini,[12][13] merangkum dan menyederhanakan hal-hal yang telah diketahui, memperbaiki notasi, dan memberikan bukti teorema perkalian yang lebih memuaskan ketimbang Binet.[5][14] Hal ini yang memulai teori terkait determinan secara umum.

(Jacobi 1841) mengembangkan determinan fungsional yang selanjutnya oleh Sylvester disebut matriks Jacobi.[15] Cayley 1841 memperkenalkan notasi modern untuk determinan, yang menggunakan dua bar tegak.[16][17] Penelitian terkait bentuk-bentuk khusus dari determinan selanjutnya muncul secara alami sebagai akibat dari teori umum yang sudah lengkap.

Definisi

Misalkan   adalah matriks persegi berdimensi- , yang dapat dituliskan sebagai berikut Elemen-elemen dari   umumnya berupa bilangan real atau bilangan kompleks, namun determinan juga dapat didefinisikan untuk matriks dengan elemennya berasal dari gelanggang komutatif. Terdapat banyak cara berbeda namun setara untuk mendefinisikan determinan dari  . Rumus Leibniz mendefinisikan rumus eksplisit yang menggunakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks. Beberapa cara lain menggunakan fungsi dari elemen-elemen matriks yang memenuhi sifat-sifat tertentu; pendekatan ini dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dengan menyederhanakan matriks yang dikerjakan.

Rumus Leibniz

Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati Gottfried Leibniz, menyatakan determinan dari matriks persegi   sebagai permutasi dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu fungsi multilinear alternating   terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi   dengan   adalah matriks identitas.[18] Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai dengan   adalah fungsi tanda (signum) dari permutasi dalam grup permutasi  , yang menghasilkan nilai   dan   masing-masing untuk permutasi genap dan ganjil. Fungsi multilinear alternating dan sifat   dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian § Matriks persegi dimensi 2).

Rumus Leibniz untuk determinan dari matriks   adalah Dalam ekspresi tersebut, setiap suku memiliki satu faktor dari setiap baris dan kolom yang unik. Sebagai contoh,   memiliki faktor   dari elemen baris pertama kolom kedua,   dari baris kedua kolom pertama, dan   dari baris ketiga kolom ketiga. Tanda dari suku ditentukan dari banyaknya pertukaran faktor-faktor agar terurut menaik berdasarkan urutan kolomnya. Tanda positif untuk pertukaran berjumlah genap dan negatif untuk berjumlah genap. Sebagai contoh, suku   memerlukan satu pertukaran agar menjadi  , yang masing-masing faktornya sekarang terurut menaik: kolom pertama, kedua, dan ketiga. Karena pertukaran berjumlah ganjil, suku   akan dikalikan  .

 
Bentuk visual dari aturan Sarrus untuk menghitung determinan matriks dimensi 3.

Aturan Sarrus dapat digunakan sebagai jembatan keledai untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.

Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan simbol Levi-Civita dengan penjumlahan Einstein. Simbol Levi-Civita   terdefinisi pada rangkap-  dari bilangan bulat  .[19][20] Simbol akan bernilai   jika ada dua bilangan bulat yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah 

Ekspansi Laplace

Ekspansi Laplace, rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks   ukuran   secara rekursif sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut minor. Minor   didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran   yang dihasilkan dari menghapus baris ke-  dan kolom ke-  matriks  . Untuk sembarang  , akan berlaku hubungan 

Ekspresi   dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke- ". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama ( ) dari matriks ukuran   menghasilkan rumus  Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti matriks Vandermonde: Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan invers dari matriks. Matriks adjugat   didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis  Definisi ini memastikan perkalian matriks   dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya bernilai  .[21] Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai   dengan   merupakan matriks identitas. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni   memiliki invers jika dan hanya jika   tidak bernilai  . Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan   dari kanan) sehingga  

Sifat-sifat determinan

Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks   berukuran    sebagai rangkap-  dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi,   dengan   adalah vektor di kolom ke-  matriks.

  1.  , dengan   adalah matriks identitas.
  2. Determinan merupakan pemetaan multilinear: jika kolom ke-  matriks   dapat ditulis sebagai kombinasi linear   dari dua vektor kolom   dan   dan skalar  , maka determinan dari   dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear:     
  3. Determinan bersifat alternating: ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan  ;  secara matematis  

Ketiga sifat tersebut mengakibatkan beberapa sifat turunan:

  • Determinan termasuk fungsi homogen, yakni,  
  • Menukar dua kolom pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan  :  Rumus di atas dapat diterapkan secara iteratif jika ada beberapa kolom yang ingin ditukar. Sebagai contoh  Lebih umum lagi, sebarang permutasi kolom-kolom akan mengalikan determinan dengan tanda dari permutasi tersebut.
  • Jika ada kolom pada matriks yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya (dengan kata lain kolom-kolom matriks saling bergantung linear), determinan matriks tersebut sama dengan  . Salah satu contoh kasus ini adalah ketika ada kolom yang semua elemennya bernilai  .
  • Jika suatu kelipatan skalar suatu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, determinan dari matriks yang dihasilkan tidak berubah.
  • Jika   adalah matriks segitiga, yakni yang semua elemen   ketika   (atau alternatif lain, ketika  ), maka determinannya sama dengan hasil perkalian dari elemen-elemen diagonal utamanya,  

Contoh

Selain penting dari aspek teoritis, ketiga sifat utama dan sifat-sifat turunan dari matriks dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan nilai determinan. Sebagai contoh, metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk mengubah matriks ke bentuk matriks segitiga atas, dalam langkah-langkah yang teratur. Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung determinan matriks   dengan metode tersebut: 

Perhitungan determinan dari matriks  
Matriks        
Dihasilkan dari menambahkan kolom kedua ke yang pertama menambahkan 3 kali kolom ketiga ke yang kedua menukar dua kolom pertama menambahkan   kali kolom kedua ke yang pertama
Determinan        

Menggabungkan semua persamaan ini menghasilkan  

Transpos

Determinan dari transpos matriks   sama dengan determinan dari  :  Hubungan ini dapat ditunjukan dengan menginspeksi rumus Leibniz.[22] Hal ini mengakibatkan semua penggunaan kata "kolom" pada semua sifat-sifat sebelumnya, dapat digantikan dengan kata "baris". Sebagai contoh, menukar dua baris pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan  .

Multiplikativitas dan grup matriks

Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi   dan   yang berukuran sama, determinan dari perkalian matriks sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks,   Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks   yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan alternating terhadap kolom-kolom  . Lebih lanjut, kedua sisi bernilai   ketika   berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut. [23] Rumus Cauchy–Binet adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).

Matriks   dengan elemen-elemen berasal dari sebuah lapangan, dapat dibalikkan (invertibel, memiliki invers) jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah  Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran   atas suatu lapangan  ) membentuk sebuah grup linear umum  ; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai  , membentuk sebuah subgrup bernama grup linear khusus  . Umumnya, kata "khusus" ("special") digunakan untuk menandakan subgrup dari grup matriks dengan determinan bernilai  . Contoh lainnya adalah grup ortogonal khusus (yang berisi semua matriks rotasi ketika   dan  ), dan grup uniter khusus.

Matriks blok

Rumus determinan untuk matriks ukuran   masih berlaku untuk matriks blok, dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks  , masing masing berdimensi  ,  ,   dan  . Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat faktorisasi dengan komplemen Schur, adalah   Jika matriks   terbalikkan, dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan   yang dapat disederhanakan menjadi   ketika   merupakan matriks ukuran  . Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan teorema determinan Sylvester, yang menyatakan untuk matriks   berukuran   dan matriks   berukuran  , berlaku hubungan  dengan   dan   masing-masing adalah matriks identitas dimensi   dan  .

Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika   dan   komutatif (artinya  ), maka[24]  Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari   submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.[25]

Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya

Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni nilai eigen dan polinomial karakteristik dari matriks. Misalkan   adalah matriks ukuran   dengan elemen berupa bilangan kompleks. Dengan menggunakan teorema dasar aljabar, disimpulkan   pasti memiliki tepat   nilai eigen   (dalam konteks ini, nilai eigen dengan kegandaan aljabar   muncul   kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari   ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini, Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks   memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika   bukan nilai eigen dari  .

Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai[26] dengan   merupakan variabel (lebih tepatnya indeterminate) dari polinomial, dan   adalah matriks identitas berukuran sama dengan  . Polinomial ini selanjut memiliki akar berupa nilai-nilai eigen dari  ; yakni bilangan-bilangan kompleks   yang memenuhi  

Teras

Teras (trace) dari matriks  , dinotasikan dengan  , didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal  , dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks  , berlaku  atau ekuivalen untuk matriks real  , berlaku hubungan   Disini, notasi   menyatakan perpangkatan matriks  , mengingat setiap nilai eigen   dari   berkorespodensi dengan nilai eigen   dari  . Secara khusus, untuk sebarang logaritma dari  , dengan kata lain sebarang matriks   yang memenuhi  , determinan dari   memiliki hubungan

 

Sebagai contoh, untuk n = 2, n = 3, dan n = 4, secara berurutan akan berlaku,

 

Batas atas dan batas bawah

Untuk matriks definit positif  , operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk logaritma dari determinan: dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika  . Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus divergensi Kullback-Leibler antara dua distribusi normal multivariat. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan  Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa rerata harmonik lebih kecil daripada rerata geometrik, yang selanjutnya lebih kecil daripada rerata aritmetika, yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada rerata kuadrat.

Turunan

Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan real (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari   ke  . Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan rumus Jacobi:[27] dengan   menyatakan adjugat dari  . Khususnya ketika   memiliki invers, terdapat hubungan  

Penerapan

Aturan Cramer

Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari sistem persamaan linear, yang dinyatakan sebagai   dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik   jika dan hanya jika   tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan aturan Cramer:  dengan   adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke-  matriks   dengan vektor  . Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:

 

dengan   adalah vektor kolom ke-  dari  . Aturan ini juga dapat dihasilkan dari identitas  

Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu  , yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti dekomposisi LU, QR, dan SVD.[28]

Catatan kaki

  1. ^ Lang 1985, §VII.1
  2. ^ "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-04. Diakses tanggal 2023-11-27. 
  3. ^ Grattan-Guinness 2003, §6.6
  4. ^ Cajori, Florian (1919). A history of mathematics. unknown library. New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd. 
  5. ^ a b c Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971
  6. ^ Eves 1990, hlm. 405
  7. ^ "A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory". web.archive.org. 2012-09-10. Diakses tanggal 2023-11-27. 
  8. ^ Kleiner 2007, hlm. 80
  9. ^ (Bourbaki 1994, hlm. 59)
  10. ^ Muir, Sir Thomas, The Theory of Determinants in the historical Order of Development [London, England: Macmillan and Co., Ltd., 1906].
  11. ^ Kleiner 2007, §5.2
  12. ^ Penggunaan istilah "determinan" dalam sudut pandang modern muncul di Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variables qu'elles renferment," yang pertama kali dibacakan di Institute de France di Paris pada 30 November 1812, dan selanjutnya dipublikasikan dalam Journal de l'Ecole Polytechnique, Cahier 17, Tome 10, pages 29–112 (1815).
  13. ^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D)". jeff560.tripod.com. Diakses tanggal 2023-11-27. 
  14. ^ "Matrices and determinants". Maths History (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2023-11-27. 
  15. ^ Eves 1990, hlm. 494
  16. ^ Cajori 1993, Vol. II, p. 92, no. 462
  17. ^ "Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors". jeff560.tripod.com. Diakses tanggal 2023-11-27. 
  18. ^ Serge Lang, Linear Algebra , 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.
  19. ^ Harris 2014, §4.7
  20. ^ McConnell (1957). Applications of Tensor Analysis . Dover Publications. hlm. 10–17. 
  21. ^ Horn & Johnson 2018, §0.8.2.
  22. ^ Lang 1987, §VI.7, Theorem 7.5
  23. ^ Bourbaki 1998, §III.8, Proposition 1 menunjukkan cara lain membuktikan hubungan ini dengan menggunakan functorialitas dari exterior power.
  24. ^ Silvester, J. R. (2000). "Determinants of Block Matrices". Math. Gaz. 84 (501): 460–467. doi:10.2307/3620776. JSTOR 3620776. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-08-16. 
  25. ^ Sothanaphan, Nat (January 2017). "Determinants of block matrices with noncommuting blocks". Linear Algebra and Its Applications. 512: 202–218. arXiv:1805.06027 . doi:10.1016/j.laa.2016.10.004. 
  26. ^ Lang 1985, §VIII.2, Horn & Johnson 2018, Def. 1.2.3
  27. ^ Horn & Johnson 2018, § 0.8.10
  28. ^ Habgood & Arel 2012

Referensi

Referensi sejarah