Kebebasan linear

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan takbebas linear.

Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi $\mathbb {R} ^{3}$ kita bisa mengambil tiga vektor berikut:

${\begin{matrix}{\mbox{bebas linear}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\{\mbox{takbebas linear}}\\\end{matrix}}$

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut takbebas linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

${\mathbf {v}}_{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right){\mathbf {v}}_{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right){\mathbf {v}}_{3}+{\frac {1}{9}}{\mathbf {v}}_{4}.$

Definisi formal

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut takbebas linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v₁, v₂, ..., v_n dalam S dan skalar a₁, a₂, ..., a_n, yang tidak semuanya nol, sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.

Bila tidak ada skalar yang memenuhi persamaan di atas, vektor tersebut disebut bebas linear. Persyaratan ini dapat dirumuskan ulang sebagai berikut: bilamana a₁, a₂, ..., a_n adalah skalar sehingga

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,$ a_i = 0 untuk i = 1, 2, ..., n, artinya hanya pemecahan trivial (sepele) yang ada.

Sebuah himpunan vektor adalah bebas linear jika dan hanya jika representasi vektor nol sebagai kombinasi linear anggota-anggotanya adalah hanya dipenuhi oleh pemecahan trivial.

Pranala luar

• Fungsi takbebas linear di WolframMathWorld